一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1、已知全集U= ,則正確表示集合 和 關系的韋恩(Venn)圖是( )
A. B. C. D.
2、 已知i為虛數(shù)單位, 則復數(shù)i i 等于 ( )
A . B. C. D.
3.命題“存在 ”的否定是( )
A.存在 B.不存在
C.對任意的 D.對任意的
4、“ ”是“函數(shù) 在區(qū)間 上為增函數(shù)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5、設 且 ,則銳角x為( )
A. B. C. D.
6、某社區(qū)現(xiàn)有 個住戶,其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶,其他為高收入家庭。在建設幸福廣東的某次分層抽樣調查中,高收入家庭被抽取了6戶,則該社區(qū)本次被抽取的總戶數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
7、設 是公差不為0的等差數(shù)列, 且 成等比數(shù)列,則 的前 項和 =( )
A. B. C. D.
8、已知函數(shù) ,若實數(shù) 是方程 的解, 且 ,則 的值 ( )
A.恒為負 B.等于零 C.恒為正 D.不小于零
二、填空題: 本大題共6小題,每小題5分,滿分30分.
(一)必做題
9、已知全集 ,函數(shù) 的定義域為集合 ,函數(shù) 的定義域為集合 ,則集合 =______________
10、已知函數(shù) 的定義域為{0,1,2},那么該函數(shù)的值域為_____________
11、從100張卡片(1號到100號)中任取1張,取到卡號是7的倍數(shù)的概率是 .
12、已知 為 上的減函數(shù),則滿足 的實數(shù) 的取值范圍是______
13、不等式 的解集為
(二)選做題
14、(極坐標與參數(shù)方程)在極坐標系中,點 到直線 的距離為 .
15、(幾何證明選講) 兩弦相交于圓內(nèi)一點,一弦被分為12和18兩段,另一弦被分為3:8,則另一弦的長是________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明,證明過程或演算步驟
16、(本小題滿分12分)已知函數(shù) (其中A>0, )的圖象如圖所示。
(Ⅰ)求A,w及j的值;
(Ⅱ)若cosa= ,求 的值。
17、某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用 表示.據(jù)統(tǒng)計,隨機變量 的概率分布如下:
0 1 2 3
0.1
0.3
(1)求 的值和 的數(shù)學期望;
(2)假設一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴3次的概率.
18、如圖,四棱錐 的底面是矩形, 底面 , 為 邊的中點, .
(Ⅰ)求證: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值的大小.
19、已知等差數(shù)列 滿足 , 為 的前 項和.
(Ⅰ)求通項 及 ;
(Ⅱ)設 是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求數(shù)列 的通項公式及其前 項和 .
20、已知函數(shù) 是 的一個極值點.
(1)求函數(shù) 的單調區(qū)間;
(2)若當 時, 恒成立,求 的取值范圍.
21、已知圓 直線
(Ⅰ)求圓 的圓心坐標和圓 的半徑;
(Ⅱ)求證:直線 過定點;
(Ⅲ)判斷直線 被圓 截得的弦何時最長,何時最短?并求截得的弦長最短時 的值,以及最短長度.
2018—2018學年高三級次月考參考答案
三、簡答題
17.(1)解:由概率分布的性質有0.1+a +2a +0.3 =1,解得a=0.2.
所以 的概率分布為
0 1 2 3
0.1 0.2 0.4
0.3
所以 .
(2)解:設事件 表示“兩個月內(nèi)共被投訴3次”,事件 表示“兩個月內(nèi)有一個月被投訴3次,另外一個月被投訴0次”,事件 表示“兩個月內(nèi)有一個月被投訴2次,另外一個月被投訴1次”,
則由事件的獨立性得, ,
,
所以 .
所以該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴3次的概率為0.22.
18、由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD= ,…………………2分
又因為AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以 . …………………4分
因為SA⊥底面ABCD, 平面ABCD,
所以SA⊥PD, ………………………………………5分
由于SA∩AP=A 所以 平面SAP. ……6分
(Ⅱ)設Q為AD的中點,連結PQ, …………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA 平面SAD,
則平面SAD⊥平面PAD …………………8分
, PQ⊥平面SAD, SD 平面SAD, .
過Q作QR ,垂足為 ,連接 ,則 .
又 , ,
所以 . …………………13分
所以二面角A-SD-P的余弦為 . …………………14分
解法二:因為 底面 ,
所以,∠SBA是SB與平面ABCD所成的角. ……1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1建立空間直角坐標系(如圖)
由已知,P為BC中點.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)……………3分
(Ⅰ)易求得 ,
, . …………………4分
因為 , .
所以 , .
由于 ,所以 平面 . …………………6分
(Ⅱ)設平面SPD的法向量為 .
由 ,得 解得 ,所以 . ……9分
又因為AB⊥平面SAD,所以 是平面SAD的法向量,
易得 . …………………9分
所以 . …………………13分
所以所求二面角 的余弦值為 .…………………14分
20、解:(1)∵ 且 是 的一個極值點
∴ , -------2分
∴ ------4分
由 得 或 ,∴函數(shù) 的單調增區(qū)間為 , ;--6分
由 得 ,∴函數(shù) 的單調減區(qū)間為 , ----8分
(2)由(1)知,函數(shù) 在 上單調遞減,在 上單調遞增
∴當 時,函數(shù) 取得最小值, = , ----10分
時, 恒成立等價于 -----12分
即 。-------14分
21、(I)圓 :
可變?yōu)椋?………1分
由此可知圓 的圓心 坐標為 ,半徑為 ………3分
(Ⅱ)由直線
可得 ………4分
對于任意實數(shù) ,要使上式成立,必須 ………5分
解得: ………6分
所以直線 過定點 ………7分
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