【導(dǎo)語】聞雞起舞成就拼搏勁旅師,天道酬勤再現(xiàn)輝煌王者風(fēng)。擁有夢想只是一種智力,實(shí)現(xiàn)夢想才是一種能力。揮灑斗志,成就夢想。臥薪嘗膽,嘗破繭而觸痛。破釜沉舟,圓金色六月夢。逍遙右腦為你整理了《高三數(shù)學(xué)期中模擬試卷》,助你金榜題名!
【一】
第Ⅰ卷
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分,請(qǐng)將答案填入答題區(qū))
1.已知全集,集合,,
則
2.復(fù)數(shù)的實(shí)部為
3.一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽,隨機(jī)地抽取了3張標(biāo)簽,則取出的3張標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)的平均數(shù)是3的概率為▲.
4.執(zhí)行如圖所示的流程圖,會(huì)輸出一列數(shù),則這列數(shù)中的第3個(gè)數(shù)是▲.
5.在一個(gè)容量為5的樣本中,數(shù)據(jù)均為整數(shù),已測出其平均數(shù)為10,但墨水污損了兩個(gè)數(shù)據(jù),其中一個(gè)數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損,即9,10,11,1,那么這組數(shù)據(jù)的方差可能的最大值是.
6.已知(、為正數(shù)),若,則的最小值是_____.
7.若等差數(shù)列的公差為,且是與的等比中項(xiàng),則該數(shù)列的前項(xiàng)和取最小值時(shí),的值等于
8.設(shè)a∈R,函數(shù)是偶函數(shù),若曲線)的一條切線的斜率是32,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________.
9.已知一個(gè)圓錐底面的面積為2,側(cè)面積為4,則該圓錐的體積為▲.
10.已知雙曲線(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C(0,),若線段AC的垂直平分線過點(diǎn)B,則雙曲線的離心率為.
11.在△ABC中,A=30°,AB=3,,且,則=.
12.已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)在直線上,若滿足等式的點(diǎn)有兩個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
13.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足:,則的最小值為.
14、已知函數(shù),且對(duì)于任意都有恒成立。則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲.
解答題(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
15..(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
。1)當(dāng)時(shí),求的值域;
(2)若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足,求的值.
16.(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E、F分別是棱PC和PD的中點(diǎn).
。1)求證:EF∥平面PAB;
。2)若AP=AD,且平面PAD平面ABCD,證明:平面PAD平面PCD.
17.(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓()的焦點(diǎn)在軸上.
。1)若橢圓的離心率,求橢圓的方程;
。2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為直線x+y=與橢圓E的一個(gè)公共點(diǎn);
直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,連結(jié)F1P.問當(dāng)a變化時(shí),與的夾角是否為定值,若是定值,求出該定值;若不是定值,說明理由.
18.(本小題滿分16分)
(2)如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長的條形木料(不計(jì)榫卯及其它損耗)?
19.(本小題滿分16分)
已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),且對(duì)任意,都有(為常數(shù)).
(1)若,且,成等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
。2)若,求證:成等差數(shù)列;
。3)已知,(為常數(shù)),是否存在常數(shù),使得對(duì)任意
都成立?若存在.求出;若不存在,說明理由.
20.(本小題滿分16分)
已知函數(shù),
。1)函數(shù),其中為實(shí)數(shù),
、偾蟮闹;
②對(duì),有,求的最大值;
。2)若(為正實(shí)數(shù)),試求函數(shù)與在其公共點(diǎn)處是否存在公切線,若存在,求出符合條件的的個(gè)數(shù),若不存在,請(qǐng)說明理由.
江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)
2018~2018學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高三數(shù)學(xué)附加題(第Ⅱ卷)
21.B.[選修42:矩陣與變換](本小題滿分10分)
若點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為,求矩陣的逆矩陣.
C.[選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
。1)求出圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知圓與軸相交于,兩點(diǎn),若直線:上存在點(diǎn)使得,求實(shí)數(shù)的最大值.
22.(本小題滿分10分)
如圖,在直三棱柱中,已知,,,.是線段的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
。2)求二面角的大小的余弦值.
23.(本小題滿分10分)
某電視臺(tái)推出一檔游戲類綜藝節(jié)目,選手面對(duì)1?5號(hào)五扇大門,依次按響門上的門鈴,門鈴會(huì)播放一段音樂,選手需正確回答這首歌的名字,回答正確,大門打開,并獲得相應(yīng)的家庭夢想基金,回答每一扇門后,選手可自由選擇帶著目前的獎(jiǎng)金離開,還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多的夢想基金,但是一旦回答錯(cuò)誤,游戲結(jié)束并將之前獲得的所有夢想基金清零;整個(gè)游戲過程中,選手有一次求助機(jī)會(huì),選手可以詢問親友團(tuán)成員以獲得正確答案.1?5號(hào)門對(duì)應(yīng)的家庭夢想基金依次為3000元、6000元、8000元、12000元、24000元(以上基金金額為打開大門后的累積金額,如第三扇大門打開,選手可獲基金總金額為8000元);設(shè)某選手正確回答每一扇門的歌曲名字的概率為pi(i=1,2,…,5),且pi=(i=1,2,…,5),親友團(tuán)正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為,該選手正確回答每一扇門的歌名后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門的概率均為;
。1)求選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率;
(2)若選手在整個(gè)游戲過程中不使用求助,且獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X(元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案
1.
2.0
3.
4.30.
5.32.8
6.3+22
7.6
8.ln2
9.
10.
11.?6
12.
13.
14.或
15.解:(1)∵f(x)=2sinxcosx?3sin2x?cos2x+3
=sin2x?3?+3=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,
∵x∈[0,],∴2x+∈[,],∴sin(2x+)∈[,1],
∴f(x)=2sin(2x+)+1∈[0,3];
。2)∵=2+2cos(A+C),∴sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),
∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),
∴?sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA,即sinC=2sinA,
由正弦定理可得c=2a,又由=可得b=a,
由余弦定理可得cosA===,
∴A=30°,由正弦定理可得sinC=2sinA=1,C=90°,由三角形的內(nèi)角和可得B=60°,
∴f(B)=f(60°)=2
16.(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是棱PC和PD的中點(diǎn),所以EF∥CD,又在矩形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥AB,---------------------3分
又AB面PAB,EF面PAB,所以EF∥平面PAB.--------------6分
⑵證明:在矩形ABCD中,AD⊥CD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD面ABCD,所以CD平面PAD,--------------10分
又AF面PAD,所以CDAF.①因?yàn)镻A=AD且F是PD的中點(diǎn),所以AFPD,②
由①②及PD面PCD,CD面PCD,PD∩CD=D,所以AF平面PCD.----------14分
17.解:(1)由題知,由得
a4-25a2+100=0,故a2=5或20(舍),故橢圓E的方程為;----------------------6分
。2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則c2=2a2-8,
聯(lián)立得8x2-4x+a4=0,
即,故,,------------------------------------------10分
直線PF2的方程為,令x=0,則,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
故,(9分)
故---------------13分
故與的夾角為定值.------------------------------------------------------------------------14分
18.解.(1)由題意,水平方向每根支條長為cm,
豎直方向每根支條長為cm,------------------------------------2分
菱形的邊長為cm.------------------------------------4分
從而,所需木料的長度之和L=
=cm.-----------------------------------6分
。2)由題意,,即,又由可得.--------------------8分
所以.
令,其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,--------------------10分
故在上單調(diào)遞減,所以可得.--------------------12分
則
=.
因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù),
所以在上為增函數(shù),--------------------14分
故當(dāng),即時(shí)L有最小值.
答:做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長的條形木料.-------------------16分
19.解:(1)當(dāng)時(shí),,
,數(shù)列為等比數(shù)列,設(shè)公比為,………………2分
則成等差數(shù)列,
,即,
,,,………………4分
,數(shù)列的前項(xiàng)和;………………5分
(2)當(dāng)時(shí),,
令,則,
,
,,
成等差數(shù)列;………………8分
(3)存在常數(shù)使得對(duì)任意都成立.………9分
證明如下:令,
對(duì)任意,都有,①,為常數(shù),
,②
②①得:,
,
,
即:,亦即:,
數(shù)列為常數(shù)列,,,………………14分
,,,
令,則,
,,………………15分
,
即存在常數(shù)使得對(duì)任意都成立.……16分
20.解:(1)由得,
①-------------------------------------------------------------3分
②記,則,
記,則,當(dāng)時(shí),
i當(dāng)時(shí),,,即在上是增函數(shù),
又,則,,
即在上是增函數(shù),又,則,
即在上是增函數(shù),故,;----------------------6分
ii當(dāng)時(shí),則存在,使得在小于0,
即在上是減函數(shù),則,,即在上是減函數(shù),又,則,,又,
即在上是減函數(shù),故,,矛盾!…---------…8分
故的最大值為;……9分
。3)設(shè)函數(shù)與在其公共點(diǎn)處存在公切線,
則…-------------------------------------------------…11分,
由②得,即代入①得,----……13分,
記,則,
得在上是增函數(shù),上是減函數(shù),
又,
得符合條件的的個(gè)數(shù)為.……--------------------16分(未證明小于0的扣2分)
21.解:由題意知,,即----------------------2分
所以解得從而-----------6分
由,解得.----------------------------------------10分
解:(1)由得,即,
即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.-----------------4分
。2):的方程為,而為圓的直徑,
故直線上存在點(diǎn)使得的充要條件是直線與圓有公共點(diǎn),-----------------6分
故,于是,實(shí)數(shù)的最大值為.----------------10分
22.解:因?yàn)樵谥比庵校,所以分別以、、所在的直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,……………………………………………………2分
。1)因?yàn),設(shè)平面的法向量,
則,即,取,
所以平面的法向量,而,所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為;…………………………………5分
。2),,設(shè)平面的法向量,
則,即,取,平面的法向量,
所以,
二面角的大小的余弦值.……………………………………………10分
23.解:設(shè)事件“該選手回答正確第i扇門的歌曲名稱”為事件Ai,“使用求助回答正確歌曲名稱”為事件B,事件“每一扇門回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)下一扇門”為事件C;則,,,,,P(B)=,P(C)=…
。1)設(shè)事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A,則:
A=A1CA2CBCA4=×=
∴選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率為;---------------4分
。2)X的所有可能取值為:0,3000,6000,8000,12000,24000;…
P(X=3000)=P(A1)==;
P(X=6000)=P(A1CA2)==;
P(X=8000)=P(A1CA2CA3)==;
P(X=12000)=P(A1CA2CA3CA4)==;
P(X=24000)=P(A1CA2CA3CA4CA5)==;…
P(X=0)=P()+P(A1C)+P(A1CA2C)+P(A1CA2CA3C)+P(A1CA2CA3CA4C)==;…
∴X的分布列為:
X03000600080001200024000
P
-------------------------------------------------------------------8分
∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×
=1250+1000+500+250+250=3250(元)
∴選手獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X的數(shù)學(xué)期望為3250(元)---------------------------------10分
【二】
一、選擇題(每小題4分,共40分)
1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()
A.B.C.D.
2.已知,則數(shù)列是()
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列
3.數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是()A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)
4.設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若=80,則=
。ˋ)120(B)105(C)90(D)75
5.等差數(shù)列中,前項(xiàng),則的值為
A.B.C.D.6
6.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為()
A.3B.4C.5D.2
7.等差數(shù)列中,()
A.24B.22C.20D.-8
8.已知等差數(shù)列中,,,則前10項(xiàng)和=
。ˋ)100(B)210(C)380(D)400
9.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若S7=35,則a4=
。ˋ)8(B)7(C)6(D)5
10.已知為等差數(shù)列,,,是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則使得達(dá)到最大值的是()
A.21B.20C.19D.18
二、填空題(每小題4分,共16分)
11.數(shù)列的前n項(xiàng)和,則。
12.已知an為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d=.
13.已知橢圓+=1上有n個(gè)不同的P1,P2,P3,……Pn,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列FPn的公差不小于的等差數(shù)列,則n的最大值為.
14.某單位用3.2萬元購買了一臺(tái)實(shí)驗(yàn)儀器,假設(shè)這臺(tái)儀器從啟用的第一天起連續(xù)使用,第天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元,若使用這臺(tái)儀器的日平均費(fèi)用最少,則一共使用了天.
三、解答題(共44分,寫出必要的步驟)
15.(本小題滿分10分)已知數(shù)列中,,,數(shù)列滿足
;
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列中的最大值和最小值,并說明理由
16.(本小題滿分10分)在數(shù)列中,
。1)設(shè)證明是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和。
17.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為記前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)設(shè),求和的值;
(Ⅱ)設(shè),求的值.
18.(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。
(I)求證:是等差數(shù)列;
。á颍┰O(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,求;
。á螅┣笫箤(duì)所有的恒成立的整數(shù)的取值集合。
答案
一、選擇題
1.B
2.A
3.B
4.B
5.C
6.A
7.A
8.B
9.D
10.解析:由題設(shè)求得:,
,所以當(dāng)時(shí)最大。故選B
二、填空題
11.
12.-;
13.2009
14.800
三、解答題
15.解析:
(1),而,
∴,;故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列;
(2)由(1)得,則;設(shè)函數(shù),
函數(shù)在和上均為減函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;且,當(dāng)趨向于時(shí),接近1,
∴,.
16.解析:(1)由已知得
,
又
是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;
。2)由(1)知
兩式相減得
17.解析:(Ⅰ)由已知得,又,
即.…………………………(2分)
,公差.
由,得…………………………(4分)
即.解得或(舍去).
.…………………………(6分)
(Ⅱ)由得
…………………………(8分)
…………………………(9分)
是等差數(shù)列.
則
………………………(11分)
……………………(12分)
18.解析:(I)依題意,
故
當(dāng)時(shí),
①-②得:
故為等比數(shù)列,且,
即是等差數(shù)列
(Ⅱ)由(I)知,
。á螅
當(dāng)時(shí),取最小值
依題意有
解得
故所求整數(shù)的取值集合為0,1,2,3,4,5
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