青浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模卷(滿分150分,答題時(shí)間120分鐘)學(xué)生注意:1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.2.在試題紙上答題無效,必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.3.可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題.一、填空題(本題滿分56分)本題共有14題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得4分,否則一律得零分.在直角坐標(biāo)系內(nèi),到點(diǎn)(1,0)和直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 .【解析】(性理解水平/),該的軌跡是拋物線,其中,軌跡方程為.已知全集U=R,集合,且R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【解析】(探究性理解水平/集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算,集合的描述法)由,,則易得.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中,則 .【解析】(探究性理解水平/等比數(shù)列的,等比中項(xiàng))由等比數(shù)列的性質(zhì)得:,.已知點(diǎn),則向量在方向上的投影為 .【解析】(探究性理解水平/平面向量) 依題意,,設(shè)與夾角為,,在方向上的投影為.已知,且,則 .【解析】(探究性理解水平/誘導(dǎo)公式) ,則,,所以.已知圓錐底面圓的周長為4π,側(cè)棱與底面所成角的大小為,則該圓錐的體積是 .【解析】(探究性理解水平/圓錐的體積)設(shè)底面圓的半徑為r,高為h,側(cè)棱與底面所成角為,則,又, .7. (1月青浦)要使函數(shù)在區(qū)間[2,3]上存在反函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是或【解析】(探究性理解水平/反函數(shù))函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù),在區(qū)間單調(diào),或,即或.已知,則實(shí)數(shù)q的取值范圍是 .【解析】(解釋性理解水平/極限的計(jì)算)因?yàn),故,故,則的取值范圍為.已知定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),且,則不等式的解集為 .【解析】(探究性理解水平/函數(shù)的奇偶性、性)由題意在上是增函數(shù),,,所以不等式的解集為.10. (1月青浦)已知集合,從A的非空子集中任取一個(gè),該集合中所有元素之和為奇數(shù)的概率是 .【解析】(探究性理解水平/)A中有5個(gè)元素,其子集的個(gè)數(shù)為①集合中含有1個(gè)元素種;②個(gè)種;③個(gè)元素種;④個(gè)元素種;⑤個(gè)元素1種,故的概率為:.點(diǎn)P在上,若,則【解析】(探究性理解水平/雙曲線的)由題意知,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則點(diǎn)P在雙曲線的右支上,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì),有,所以.12. (1月青浦)已知扇形的周長為定值l,寫出扇形的面積y關(guān)于其半徑x的函數(shù)解析式 .【解析】(探究性理解水平/扇形周長、面積公式)由題意扇形的半徑為x,弧長為,面積為,解得,故13. (1月青浦)**已知直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn),定義為兩點(diǎn)的“非常距離”.當(dāng)平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離滿足時(shí),則的取值范圍是 .【解析】(探究性理解水平/新定義)由題意可知點(diǎn)M在以A為圓心,為半徑的圓周上,第13題圖由新定義當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故14. (1月青浦)**若不等式對(duì)任意自然數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【解析】(探究性理解水平/不等式,求參數(shù))當(dāng)為奇數(shù)時(shí),不等式為,則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),不等式為,,即.綜上,.二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑,選對(duì)得5分,否則一律得零分.15.指數(shù)函數(shù)在R上是減函數(shù),則函數(shù)在R上的單調(diào)性為()A單調(diào)遞增 B單調(diào)遞減C在上遞減,在上遞增 D在上遞增,在上遞減【解析】(探究性理解水平/函數(shù)的單調(diào)性)因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)R上減函數(shù),,,故函數(shù)開口向下,故在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,故選D.16. (1月青浦)直線的傾斜角的取值范圍是()A B. C. D.【解析】(探究性理解水平/)①當(dāng)時(shí),斜率不存在,即傾斜角為;②當(dāng)時(shí),直線的斜率,即直線的傾斜角為.當(dāng)時(shí),直線的斜率,即直線的傾斜角為直線的傾斜角范圍為.17. (1月青浦)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足則中最大的項(xiàng)為()A B. C. D.【解析】(探究性理解水平/等差數(shù)列前n項(xiàng)和) 由于,所以可得.所以又且,所以在中最大的是,故選C.18. (1月青浦)**對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足,稱為“局部奇函數(shù)”,若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A B.C. D.【解析】(探究性理解水平/函數(shù)奇偶性新定義)為滿足,即,令,則,即在t>0有解,再令,則在有解.函數(shù)關(guān)于h的對(duì)稱軸為h=m,①當(dāng)時(shí),,,解得;②當(dāng)時(shí),則,即,解得.綜合①②,可知.故選.三、解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19. (本題滿分12分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題6分.在△中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,向量,,且.(1)求角C的大。2)若,且,求c的邊長.【解】(探究性理解水平/向量的數(shù)量積二倍角公式余弦定理)(1),,…………………2分,,……………………………4分且,……6分(2), ………………………………8分又 ……11分 ……………………………………………………………12分20. (1月青浦) (本題滿分14分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題8分.如圖,在直三棱柱中,,.(1)求證:平面;()若D為的中點(diǎn),求異面直線與所成的角的大小.【解】(探究性理解水平/空間線面和異面直線的夾角)(1)由題意知四邊形是正方形,故.…………… 2分由得.又,所以,故 ………………………………………………………… 4分從而得.……………………………………………… 6分(第20題圖)(2)解法一:在線段上取中點(diǎn)M,連結(jié)OM ∴直線OM與所成角等于直線AD與所成的角. ………………………………… 8分設(shè),在△中,, ……………………………………………………………11分 …………………………………13分,異面直線AD與所成角的大小是. …14分解法二:設(shè),以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系可得,,,,, ………………………………………………………10分直線AD與所成的角為,向量的夾角為 ……………………………………12分又,,即異面直線AD與所成角的大小是.……………………………14分(說明:兩種方法難度相當(dāng))21. (1月青浦) **(本題滿分14分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題8分.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)一切正整數(shù)都成立.(1)求的值;(2)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,當(dāng)n為何值時(shí),最大?并求出的最大值.【解】(探究性理解水平/等差數(shù)列的前項(xiàng)和)(1)由已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)一切正整數(shù)n都成立即解方程組得或或. ……………………… 各2分(2) …………………………………… 7分又,當(dāng)時(shí),作差得…………… 10分令,則可知是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列…………………………… 11分解法一:…………………………… 13分由計(jì)算器可得,所以n=7時(shí)的最大值為…… 14分解法二:…… 14分解法三:也可以用兩邊夾的方法計(jì)算得到 ………………………………… 14分22. (1月青浦) **(本題滿分16分)本題共3小題,第(1)小題4分,第(2)小題8分,第()小題4分.橢圓C:的長軸是短軸的兩倍,點(diǎn)在橢圓上.不過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、,且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列,記△面積為S.(1)求橢圓C的方程.(2)判斷是否為定值?若是,求出這個(gè)值;若不是,請(qǐng)說明理由?(3)求S的最大值.(探究性理解水平/橢圓的方程直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)列的性質(zhì)基本不等式)(1)由題意可知且,……………………………… 2分所以橢圓的方程為……………………………… 4分(2)設(shè)直線的方程為,由……………………………… 5分 且……………………………… 6分 恰好構(gòu)成等比數(shù)列.=即 ……………………………… 8分此時(shí),即 ……………………………… 9分== ……………………………… 11分所以是定值為5. ……………………………… 12分(3) ……………………………… 13分== ……………………………… 14分=當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),的最大值為1. ……………………………… 16分23. (1月青浦)**(本題滿分18分)本題共3小題,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第()小題8分.設(shè)集合.(1)已知函數(shù),求證:(2)對(duì)于(1)中的函數(shù),求證:存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù),使得對(duì)任意成立.(3)對(duì)于任意,求證:存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù),使得對(duì)任意成立.【證明】(探究性理解水平/函數(shù)的)(1)由可得,,……………………… 3分因此.又,所以. ……………………………… 4分(2)由=,設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),≥2=2. …………………………… 8分則==. ……………………………10分即存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù),使得等式對(duì)任意成立.(3)當(dāng)時(shí),設(shè)=,則,可得,解得, ……………………………12分設(shè)函數(shù)=,當(dāng)時(shí),≥2=2. ………13分則.……………………14分當(dāng)時(shí),≤,==………16分當(dāng)時(shí),>,=. ……………18分即存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù),使得等式對(duì)任意成立.上海市青浦區(qū)屆高三一模數(shù)學(xué)試卷(word版,含解析)
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