一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.
1．命題“a=0，則ab=0”的逆否命題是（　�。�
A．若ab=0，則a=0 B．若a≠0，則ab≠0 C．若ab=0，則a≠0 D．若ab≠0，則a≠0
2．橢圓 + =1的長軸長是（　�。�
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知函數(shù)f（x）=x2+sinx，則f′（0）=（　　）
A．0 B．?1 C．1 D．3
4．“a＞1”是“a2＜1”的（　�。�
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．雙曲線 =1的漸近線方程是（　�。�
A．y=±2x B．y=±4x C．y=± x D．y=± x
6．已知y=f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

A．f（x）在（?3，?1）上先增后減 B．x=?2是函數(shù)f（x）極小值點
C．f（x）在（?1，1）上是增函數(shù) D．x=1是函數(shù)f（x）的極大值點
7．已知雙曲線的離心率e= ，點（0，5）為其一個焦點，則該雙曲線的標準方程為（　　）
A． ? =1 B． ? =1
C． ? =1 D． ? =1
8．函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（　�。�
A．（?∞， ） B．（0， ） C．（?∞，e） D．（e，+∞）
9．若方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）
A．（?∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
10．已知命題p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命題q：∃x0∈（0，+∞），x ＞x ，則下列命題中的真命題是（　�。�
A．p∧q B．p∨（?q） C．（?p）∧（?q） D．（?p）∧q
11．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（?3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　�。�
A．（?∞，?3）∪（0，3） B．（?∞，?3）∪（3，+∞） C．（?3，0）∪（3，+∞） D．（?3，0）∪（0，3）
12．過點M（2，?1）作斜率為 的直線與橢圓 + =1（a＞b＞0）相交于A，B兩個不同點，若M是AB的中點，則該橢圓的離心率e=（　�。�
A． B． C． D．
　
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分.、共16分.
13．拋物線x2=4y的焦點坐標為　　　　　�。�
14．已知命題p：∃x0∈R，3 =5，則?p為　　　　　　．
15．已知曲線f（x）=xex在點P（x0，f（x0））處的切線與直線y=x+1平行，則點P的坐標為　　　　　�。�
16．已知f（x）=ax3+3x2?1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　�。�
　
三、解答題：本大題共7小題，共48分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．已知命題p：函數(shù)y=kx是增函數(shù)，q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，若p∧（?q）為真命題，求實數(shù)k的取值范圍．
18．已知函數(shù)f（x）=2x3?6x2+m在[?2，2]上的最大值為3，求f（x）在[?2，2]上的最小值．
19．已知點P（1，?2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）上．
（1）求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）若過拋物線C焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩個不同點，求|AB|的最小值．
20．已知函數(shù)f（x）=x? ?2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x= 處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）求證：當a≤1時，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
21．已知函數(shù)f（x）=x? ?2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x= 處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
22．已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，點P（? ，1）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．
23．已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，原點到直線 + =1的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．

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2018-2019學年山西省太原市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.
1．命題“a=0，則ab=0”的逆否命題是（　�。�
A．若ab=0，則a=0 B．若a≠0，則ab≠0 C．若ab=0，則a≠0 D．若ab≠0，則a≠0
【考點】四種命題間的逆否關系．
【分析】根據(jù)互為逆否的兩命題是條件和結(jié)論先逆后否來解答．
【解答】解：因為原命題是“a=0，則ab=0”，
所以其逆否命題為“若ab≠0，則a≠0”，
故選D．
　
2．橢圓 + =1的長軸長是（　�。�
A．2 B．3 C．4 D．6
【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．
【分析】直接利用橢圓的標準方程求解實軸長即可．
【解答】解：橢圓 + =1的實軸長是：2a=6．
故選：D．
　
3．已知函數(shù)f（x）=x2+sinx，則f′（0）=（　�。�
A．0 B．?1 C．1 D．3
【考點】導數(shù)的運算．
【分析】求函數(shù)的導數(shù)，利用代入法進行求解即可．
【解答】解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=2x+cosx，
則f′（0）=cos0=1，
故選：C．
　
4．“a＞1”是“a2＜1”的（　�。�
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
【分析】由a2＜1解得?1＜a＜1，即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：由a2＜1解得?1＜a＜1，
∴“a＞1”是“a2＜1”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
　
5．雙曲線 =1的漸近線方程是（　　）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=± x D．y=± x
【考點】雙曲線的標準方程．
【分析】利用雙曲線的簡單性質(zhì)直接求解．
【解答】解：雙曲線 =1的漸近線方為 ，
整理，得y= ．
故選：C．
　
6．已知y=f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）

A．f（x）在（?3，?1）上先增后減 B．x=?2是函數(shù)f（x）極小值點
C．f（x）在（?1，1）上是增函數(shù) D．x=1是函數(shù)f（x）的極大值點
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
【分析】本小題考查導數(shù)的運用；根據(jù)導數(shù)值與0的關系判斷各個選項即可．
【解答】解：由圖象得：?3＜x＜?2時，f′（x）＞0，?2＜x＜?1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（?3，?2）遞增，在（?2，?1）遞減，
故選：A．
　
7．已知雙曲線的離心率e= ，點（0，5）為其一個焦點，則該雙曲線的標準方程為（　�。�
A． ? =1 B． ? =1
C． ? =1 D． ? =1
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．
【分析】設雙曲線的方程為 ? =1（a，b＞0），運用離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a=3，b=4，進而得到所求雙曲線的方程．
【解答】解：設雙曲線的方程為 ? =1（a，b＞0），
由題意可得e= = ，c=5，
可得a=3，b= =4，
即有雙曲線的標準方程為 ? =1．
故選：D．
　
8．函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（　�。�
A．（?∞， ） B．（0， ） C．（?∞，e） D．（e，+∞）
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
【分析】求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)小于等于0求出x的范圍，寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)y=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間．
【解答】解：函數(shù)的定義域為x＞0
∵y′=lnx+1
令lnx+1＜0得0＜x＜ ，
∴函數(shù)y=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（ 0， ），
故選：B．
　
9．若方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A．（?∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．
【分析】由題意可得m?1＞3?m＞0，解不等式即可得到所求范圍．
【解答】解：方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓，
可得m?1＞3?m＞0，
解得2＜m＜3．
故選：C．
　
10．已知命題p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命題q：∃x0∈（0

，+∞），x ＞x ，則下列命題中的真命題是（　�。�
A．p∧q B．p∨（?q） C．（?p）∧（?q） D．（?p）∧q
【考點】復合命題的真假．
【分析】根據(jù)∀x∈（0，+∞），2x＜3x，是真命題，再根據(jù)復合命題之間的判定方法即可判斷出真假．
【解答】解：命題p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，是假命題，例如取x=2不成立；
命題q：∵∀x∈（0，+∞），2x＜3x，因此命題q是假命題，
∴只有（?p）∧（?q）是真命題．
故選：C．
　
11．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（?3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A．（?∞，?3）∪（0，3） B．（?∞，?3）∪（3，+∞） C．（?3，0）∪（3，+∞） D．（?3，0）∪（0，3）
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．
【分析】構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進而即可得出不等式的解集．
【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），則h（?x）=f（?x）g（?x）=?f（x）g（x）=?h（x），因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)．
①∵當x＜0時，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0時單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
∵h（?3）=f（?3）g（?3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（?3），
∴x＜?3．
②當x＞0時，函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)，可知：h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（3）=?h（?3）=0，
∴h（x）＜0，的解集為（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（?∞，?3）∪（0，3）．
故選：A
　
12．過點M（2，?1）作斜率為 的直線與橢圓 + =1（a＞b＞0）相交于A，B兩個不同點，若M是AB的中點，則該橢圓的離心率e=（　�。�
A． B． C． D．
【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．
【分析】利用點差法，結(jié)合M是線段AB的中點，斜率為 = = ，即可求出橢圓的離心率．
【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=?2，
A，B兩個不同點代入橢圓方程，可得 + =1， + =1，
作差整理可得 + =0，
∵斜率為 = = ，
∴a=2b，
∴c= = b，
∴e= = ．
故選：C．
　
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分.、共16分.
13．拋物線x2=4y的焦點坐標為�。�0，1）　．
【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．
【分析】由拋物線x2=4y的焦點在y軸上，開口向上，且2p=4，即可得到拋物線的焦點坐標．
【解答】解：拋物線x2=4y的焦點在y軸上，開口向上，且2p=4，∴
∴拋物線x2=4y的焦點坐標為（0，1）
故答案為：（0，1）
　
14．已知命題p：∃x0∈R，3 =5，則?p為　∀x∈R，3x≠5�。�
【考點】命題的否定．
【分析】由特稱命題的否定方法可得結(jié)論．
【解答】解：由特稱命題的否定可知：
?p：∀x∈R，3x≠5，
故答案為：∀x∈R，3x≠5．
　
15．已知曲線f（x）=xex在點P（x0，f（x0））處的切線與直線y=x+1平行，則點P的坐標為�。�0，0）�。�
【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．
【分析】求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得x0為x+1=e?x的解，運用單調(diào)性可得方程的解，進而得到P的坐標．
【解答】解：f（x）=xex的導數(shù)為f′（x）=（x+1）ex，
可得切線的斜率為（x0+1）ex0，
由切線與直線y=x+1平行，可得
（x0+1）ex0=1，
即有x0為x+1=e?x的解，
由y=x+1?e?x，在R上遞增，且x=0時，y=0．
即有x0=0，
則P的坐標為（0，0）．
故答案為：（0，0）．
　
16．已知f（x）=ax3+3x2?1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則實數(shù)a的取值范圍是　（?∞，?2）�。�
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點的判定定理．
【分析】討論a的取值范圍，求函數(shù)

的導數(shù)判斷函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)極值和單調(diào)性之間的關系進行求解即可．
【解答】解：（i）當a=0時，f（x）=?3x2+1，令f（x）=0，解得x= ，函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+ ），令f′（x）=0，解得x=0或? ．
①當a＜0時，? ＞0，當x＞? 或x＜0，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當0＜x＜? 時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴故x=? 是函數(shù)f（x）的極大值點，0是函數(shù)f（x）的極小值點．

∵函數(shù)f（x）=ax3+3x2?1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則f（? ）=? + ?1= ?1＜0，
即a2＞4得a＞2（舍）或a＜?2．
②當a＞0時，? ＜0，當x＜? 或x＞0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當? ＜x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴x=? 是函數(shù)f（x）的極大值點，0是函數(shù)f（x）的極小值點．
∵f（0）=?1＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在一個零點，此時不滿足條件．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（?∞，?2）．
故答案為：（?∞，?2）．

　
三、解答題：本大題共7小題，共48分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．已知命題p：函數(shù)y=kx是增函數(shù)，q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，若p∧（?q）為真命題，求實數(shù)k的取值范圍．
【考點】復合命題的真假．
【分析】命題p：函數(shù)y=kx是增函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得k＞0．命題q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，可得k＞1．由于p∧（?q）為真命題，可得p為真命題，q為假命題．即可得出．
【解答】解：命題p：函數(shù)y=kx是增函數(shù)，∴k＞0．
命題q：方程 +y2=1表示焦點在x軸上的橢圓，∴k＞1．
∵p∧（?q）為真命題，∴p為真命題，q為假命題．
∴ ，解得0＜k≤1．
∴實數(shù)k的取值范圍是0＜k≤1．
　
18．已知函數(shù)f（x）=2x3?6x2+m在[?2，2]上的最大值為3，求f（x）在[?2，2]上的最小值．
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【分析】求導并判斷導數(shù)的正負，從而確定單調(diào)區(qū)間；由最大值建立方程求出m的值，進而求出最小值．
【解答】解：f′（x）=6x2?12x，令f′（x）=0，則x=0或x=2，
x （?∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
f（x） 正 0 負 0 正
f（x） 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
∴f（x）在[?2，0]上單調(diào)遞增，在（0，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）max=f（0）=m=3，
即f（x）=2x3?6x2+3，
又∵f（?2）=?37，f（2）=?5，
∴f（x）min=f（?2）=?37．
　
19．已知點P（1，?2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）上．
（1）求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）若過拋物線C焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩個不同點，求|AB|的最小值．
【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．
【分析】（1）根據(jù)點P（1，?2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）上，可得p值，即可求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）設直線l的方程為：x+my?1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my?4=0，利用韋達定理和拋物線的定義知|AB|=4（m2+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．
【解答】解：∵點P（1，?2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴拋物線C的方程為y2=4x，準線方程為x=?1；
（2）設直線l的方程為：x+my?1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my?4=0
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則y1，y2是上述關于y的方程的兩個不同實根，所以y1+y2=?4m
根據(jù)拋物線的定義知：|AB|=x1+x2+2=（1?my1）+（1?my2）=4（m2+1）
∴|AB|=4（m2+1）≥4，
當且僅當m=0時，|AB|有最小值4．
　
20．已知函數(shù)f（x）=x? ?2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x= 處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）求證：當a≤1時，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．
【分

析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（ ）=0，解出驗證即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過a的范圍，確定導函數(shù)的符號，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而判斷f（x）的范圍．
【解答】解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+ ? ，
∴f′（ ）=1+4（2a?1）?4a=0，解得：a= ，
∴a= 時，f′（x）= ，
∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ，1）遞減，
f（x）在x= 處取得極值，
故a= 符合題意；
（2）f′（x）=1+ ? = ，
當a≤1時，則2a?1≤1，
∴f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
函數(shù)f（x）遞增，
∴f（x）≥f（1）=2（1?a）≥0．
　
21．已知函數(shù)f（x）=x? ?2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x= 處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（ ）=0，解出驗證即可；
（2）依題意有：fmin（x，）≥0從而求出f（x）的導數(shù)，令f′（x）=0，得：x1=2a?1，x2=1，通過討論①當2a?1≤1即a≤1時②當2a?1＞1即a＞1時，進而求出a的范圍
【解答】解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+ ? ，
∴f′（ ）=1+4（2a?1）?4a=0，解得：a= ，
∴a= 時，f′（x）= ，
∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ，1）遞減，
f（x）在x= 處取得極值，
故a= 符合題意；
（2）依題意有：fmin（x，）≥0
f′（x）= ，
令f′（x）=0，
得：x1=2a?1，x2=1，
①當2a?1≤1即a≤1時，
函數(shù)f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
則f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
于是fmin（x）=f（1）=2?2a≥0，
解得：a≤1；
②當2a?1＞1即a＞1時，
函數(shù)f（x）在[1，2a?1]單調(diào)遞減，在[2a?1，+∞）單調(diào)遞增，
于是fmin（x）=f（2a?1）＜f（1）=2?2a＜0，不合題意，
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是a≤1．
　
22．已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，點P（? ，1）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．
【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．
【分析】（1）根據(jù)離心率公式和點滿足橢圓方程，結(jié)合b2=a2?c2，即可求得橢圓C的方程；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中點（x0，y0），直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），點B，A在橢圓上，化簡可得y0= =?1，AB的中點在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到結(jié)果．
【解答】解：（1）由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2?c2= a2，
將P（? ，1）代入橢圓方程，可得 + =1，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴橢圓C的方程為： + =1；
（2）橢圓C上存在點B，A關于直線y=kx+1對稱，
設A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2
AB的中點（x0，y0），直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），
則x12+（y1?1）2=x22+（y2?1）2，
點B，A在橢圓上，
∴x12=4?2y12，x22=4?2y22，∴4?2y12+（y1?1）2=4?2y22+（y2?1）2，
化簡可得：y12?y22=?2（y1?y2），即y1+y2=?2，
∴y0= =?1，
又因為AB的中點在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=? ，
由 ，可得x=± ，
∴0＜? ＜ ，或? ＜? ＜0，
即k＜? 或k＞ ．
則k的取值范圍是（?∞，? ）∪（ ，+∞）．
　
23．已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，原點到直線 + =1的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A，B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．
【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．
【分析】（1）根據(jù)離心率公式和點到直線的距離公式，結(jié)

合b2=a2?c2，即可求得橢圓C的方程；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中點（x0，y0），直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），點B，A在橢圓上，化簡可得y0= =?1，AB的中點在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到結(jié)果．
【解答】解：（1）由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2?c2= a2，
原點到直線 + =1的距離為 ，
即有 = ，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴橢圓C的方程為： + =1；
（2）橢圓C上存在點B，A關于直線y=kx+1對稱，
設A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2
AB的中點（x0，y0），直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），
則x12+（y1?1）2=x22+（y2?1）2，
點B，A在橢圓上，
∴x12=4?2y12，x22=4?2y22，∴4?2y12+（y1?1）2=4?2y22+（y2?1）2，
化簡可得：y12?y22=?2（y1?y2），即y1+y2=?2，
∴y0= =?1，
又因為AB的中點在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=? ，
由 ，可得x=± ，
∴0＜? ＜ ，或? ＜? ＜0，
即k＜? 或k＞ ．
則k的取值范圍是（?∞，? ）∪（ ，+∞）

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