高二年級(理科)數(shù)學(xué)試卷
一、（每小題5分，共60分。下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）
1．如果函數(shù) ，那么 ( ) （i是虛數(shù)單位）
A．－2i B．2i C．6i D．－6i
2. 若一個三角形能分割為兩個與自己相似的三角形，那么這個三角形一定是（ ）
A.銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不能確定
3. 函數(shù) 在區(qū)間 上的值域為（ ）
A. [－2，0 ] B. [－4，1] C. [－4，0 ] D. [－2， 9]
4. 下列等于1的積分是（ ）
A． B． C． D．
5. 如圖，⊙O的直徑 =6 c， 是 延長線上的一點，過 點作⊙O的切線，切點為 ，連接 ， 若 30°，PB的長為（ ）c.
A． B．
C．4 D．3
6．家電下鄉(xiāng)政策是應(yīng)對金融危機，積極擴大內(nèi)需的重要舉措．我市某家電制造集團為盡快實現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運輸方案，據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)期運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是( )
7．將 的圖象的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標縮短為原來的 ，則所得函數(shù)
的解析式為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖所示, 圓的內(nèi)接 的 的平分線 延長后交圓于點 , 連接 ,
已知 , 則線段 ( )
A． B．
C． D．4
9. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+ + + 時，在第二步證明從n=k到n=k+1成立時，左邊增加的項數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
10．在極坐標系中，圓 與方程 （ ）所表示的圖形的交點的極坐標是
( )．
A. B. C. D.
11. AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則 ( )．
A. B．3 C． D．2
12．函數(shù)f(x)＝sinx＋2x ， 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a＝－ 12，b＝log32，則下列關(guān)系正確的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)
二、題（本大題共4小題，每題5分，共20分）
13．若 ，復(fù)數(shù)(22-3-2)+(2-3+2) 表示純虛數(shù)的充要條件是 .
14．定積分 =___________．
15．把極坐標系中的方程 化為
直角坐標形式下的方程為 .
16．如右圖，圓 O 的割線 PBA 過圓心 O，
弦 CD 交 PA 于點F，且△COF∽△PDF，
PB = OA = 2，則PF = .
三、解答題（共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17.（本題滿分10分）
極坐標系的極點是直角坐標系的原點，極軸為 軸正半軸。
已知曲線 的極坐標方程為 ，
曲線 的參數(shù)方程為
（1）求曲線 的直角坐標方程和曲線 的普通方程；
（2）當曲線 和曲線 沒有公共點時，求 的取值范圍。
18. (本題滿分12分)
如圖， 點在圓 直徑 的延長線上， 切圓 于 點，
的平分線 交 于點 ，交 于 點．
（I）求 的度數(shù)；
（II）當 時，求證： ∽ ,并求相似比 的值.
19. (本題滿分12分)
二次函數(shù) ，又 的圖像與 軸有且僅有一個公共點，且 ．
（1）求 的表達式．
（2）若直線 把 的圖象與 軸所圍成的圖形的面積二等分，求 的值．
20. （本題滿分12分）
某班一信息奧賽同學(xué)編了下列運算程序，將數(shù)據(jù)輸入滿足如下性質(zhì):
①輸入1時，輸出結(jié)果是 ；
②輸入整數(shù) 時，輸出結(jié)果 是將前一結(jié)果 先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）求f(2),f(3),f(4);
（2） 試由（1）推測f(n)（其中 ）的表達式，并給出證明.
21.（本題滿分12分）
如圖所示，已知PA切圓O于A，割線PBC交圓O于B、C， 于D，PD與AO的延長線相交于點E，連接CE并延長交圓O于點F，連接AF。
（1）求證：B,C,E,D四點共圓；
（2）當AB=12， 時，求圓O的半徑.
22.(本題滿分12分)
已知函數(shù) , 為實數(shù)， .
（Ⅰ）若 在區(qū)間 上的最小值、最大值分別為 、1，求 、 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點 且與曲線 相切的直線 的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù) ，試判斷函數(shù) 的極值點個數(shù)．
2014-2015學(xué)年度5月調(diào)研考試
高二年級(理科)數(shù)學(xué) 參考答案
1~12. DBCCD BBBAC AA 13. 14. 15. 16. 3
17. 解析：（1）由 得
所以 ，即曲線 ：
曲線 …………………………………4分
………………………………8分
………………………………………10分
18. （I） AC為圓O的切線,∴
又知DC是 的平分線, ∴ ……………………………………3分
∴ 即 又因為BE為圓O的直徑,
∴ ∴ ……………………………………….6分
（II） , ,∴ ∽ ……….………8分
∴ ,又 AB=AC, ∴ , ………10分
∴在RT△ABE中, ……………………………………….12分
19. 解析：（1） ………………………….3分
（2） 與 軸交點（0，0）、（1，0） ……………………………6分
……………………………….9分
……………………………….12分
20. 解：由題設(shè)條件知f(1)= , = ,
;
;
. ………………………………3分
(2)猜想： （其中 ）……………………5分
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當 時， ，
所以此時猜想成立。 ………………………………6分
（2）假設(shè) 時， 成立
那么 時，
……………9分
所以 時，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想： （其中 ）成立。
…………………………12分
21. 解：（1）由切割線定理
由已知易得 ∽ ，所以
所以 = 又 為公共角，所以 ∽ ，…………3分
所以，
所以，B,C,E,D四點共圓 ……………………………………….4分
（2）作 于 ，由（1）知
，
在 中，
所以，圓O的半徑 。 ……………………………….12分
22.解：（Ⅰ）由 ，得 ， ．
∵ ， ，
∴ 當 時， ， 遞增；
當 時， ， 遞減．
∴ 在區(qū)間 上的最大值為 ，∴ ．……………………2分
又 ， ，∴ ．
由題意得 ，即 ，得 ．
故 ， 為所求． ………………………………4分
（Ⅱ）解：由（1）得 ， ，點 在曲線 上．
⑴ 當切點為 時，切線 的斜率 ，
∴ 的方程為 ，即 ． ……………………5分
⑵當切點 不是切點時，設(shè)切點為 ，
切線 的斜率 ，
∴ 的方程為 ．
又點 在 上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ．
∴ 切線 的方程為 ．
故所求切線 的方程為 或 ． ………………………………8分
（Ⅲ）解： ．
∴ ．
二次函數(shù) 的判別式為
，
令 ，得：
令 ，得 ………………………………10分
∵ ， ，
∴當 時， ，函數(shù) 為單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為0；
當 時，此時方程 有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，
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