2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)八年級(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(本大題共15個(gè)小題,每小題3分,共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.(3分)若a>b,則下列各式中一定成立的是( )
A.a(chǎn)+2<b+2 B.a(chǎn)?2<b?2 C. > D.?2a>?2b
2.(3分)下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是( 。
A.x2?x?2=x(x?1)?2 B.x2?4x+4=(x?2)2
C.( x+1)(x?1)=x2?1 D.x?1=x(1? )
3.(3分)下列所給圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( 。
A. B. C. D.
4.(3分)多項(xiàng)式x2?1與多項(xiàng)式x2?2x+1的公因式是( 。
A.x?1 B.x+1 C.x2?1 D.(x?1)2
5.(3分)已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是360°,則這個(gè)多邊形是( )
A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形
6.(3分)下列多項(xiàng)式能用完全平方公式分解因式的有( 。
A.m2?mn+n2 B.x2+4x?4 C.x2?4x+4 D.4x2?4x+4
7.(3分)如圖,將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),得點(diǎn)B,A,C′,在同一條直線上,則旋轉(zhuǎn)角∠BAB′的度數(shù)是( 。
A.60° B.90° C.120° D.150°
8.(3分)運(yùn)用分式的性質(zhì),下列計(jì)算正確的是( 。
A. =x4 B. =?1 C. = D. =0
9.(3分)如圖,若平行四邊形ABCD的周長為40cm,BC= AB,則BC=( )
A.16cm B.14cm C.12cm D.8cm
10.(3分)若分式方程 有增根,則m等于( 。
A.3 B.?3 C.2 D.?2
11.(3分)如圖,△ABC中,AB=AC=15,AD平分∠BAC,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),連接DE,若△CDE的周長為24,則BC的長為( 。
A.18 B.14 C.12 D.6
12.(3分)如圖,已知直線y1=x+m與y2=kx?1相交于點(diǎn)P(?1,2),則關(guān)于x的不等式x+m<kx?1的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
13.(3分)如圖,在菱形ABCD 中,對角線AC、BD 相交于點(diǎn)O,BD=8,BC=5,AE⊥BC 于點(diǎn)E,則AE的長等于( 。
A.5 B. C. D.
14.(3分)定義新運(yùn)算“?”如下:當(dāng)a>b時(shí),a?b=ab+b;當(dāng)a<b時(shí),a?b=ab?b,若3?(x+2)>0,則x的取值范圍是( 。
A.?1<x<1或x<?2 B.x<?2或1<x<2 C.?2<x<1或x>1 D.x<?2或x>2
15.(3分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一個(gè)等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角邊AO在x軸上,且AO=1.將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再將Rt△A1OB1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O…,依此規(guī)律,得到等腰直角三角形A2017OB2017.則點(diǎn)B2017的坐標(biāo)( 。
A.(22017,?22017) B.(22018,?22018) C.(22017,22017) D.(22018,22018)
二、填空題(共6小題,每小題3分,滿分18分)
16.(3分)分式 有意義的x的取值范圍為 .
17.(3分)若m=2,則m2?4m+4的值是 .
18.(3分)如圖,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分線上一點(diǎn),CP∥OB,交OA于點(diǎn)C,PD⊥OB,垂足為點(diǎn)D,且PC=4,則PD等于 。
19.(3分)不等式組 (m≠4)的解集是x>4,那么m的取值范圍是 。
20.(3分)如圖,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC方向平移2個(gè)單位后得到△DEF,連接DC,則DC的長為 。
21.(3分)如圖,正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EFC= .其中正確結(jié)論的是 (只填序號).
三、解答題(本大題共7個(gè)小題,共57分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
22.(7分)(1)分解因式:ax2?ay2.
(2)解不等式組 ,并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來.
23.(7分)(1)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,CD上,AE=CF,求證:DE=BF.
(2)先化簡,再求值:( ? )÷ ,其中a=6.
24.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的位置如圖所示(每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形).
(1)將△ABC沿X軸方向向左平移6個(gè)單位,畫出平移后得到的△A1B1C1.
(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2.
(3)直接寫出點(diǎn)A2、C2的坐標(biāo).
25.(8分)某商店購進(jìn)甲、乙兩種商品,已知每件甲種商品的價(jià)格比每件乙種商品的價(jià)格貴10元,用350元購買甲種商品的件數(shù)恰好與用300元購買乙種商品的件數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種商品每件的價(jià)格各是多少元?
(2)計(jì)劃購買這兩種商品共50件,且投入的經(jīng)費(fèi)不超過3200元,那么,最多可購買多少件甲種商品?
26.(9分)探索發(fā)現(xiàn): =1? ; = ? ; = ? …
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,回答下列問題:
(1) = , = 。
(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算: + + +…+
(3)靈活利用規(guī)律解方程: + +…+ = .
27.(9分)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為頂點(diǎn)作正方形EFGH.
(1)如圖1,點(diǎn)A、D分別在EH和EF上,連接BH、AF,直接寫出BH和AF的數(shù)量關(guān)系:
(2)將正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
①如圖2,判斷BH和AF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②如果四邊形ABDH是平行四邊形,請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形;如果四方形ABCD的邊長為 ,求正方形EFGH的邊長.
28.(9分)如圖,矩形ABCO中,點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(?6,8).矩形ABCO沿直線BD折疊,使得點(diǎn)A落在對角線OB上的點(diǎn)E處,折痕與OA、x軸分別交于點(diǎn)D、F.
(1)直接寫出線段BO的長:
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)N是平面內(nèi)任一點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)M,使咀M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出滿足條件的 點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)八年級(下)期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共15個(gè)小題,每小題3分,共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.(3分)若a>b,則下列各式中一定成立的是( 。
A.a(chǎn)+2<b+2 B.a(chǎn)?2<b?2 C. > D.?2a>?2b
【解答】解:(A)a+2>b+2,故A錯(cuò)誤;
(B)a?2>b?2,故B錯(cuò)誤;
(D)?2a<?2b,故D錯(cuò)誤;
故選:C.
2.(3分)下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是( 。
A.x2?x?2=x(x?1)?2 B.x2?4x+4=(x?2)2
C.(x+1)(x?1)=x2?1 D.x?1=x(1? )
【解答】解:A、沒把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,故A不符合題意;
B、把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,故B符合題意;
C、是整式的乘法,故C不符合題意;
D、沒把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,故D不符合題意;
故選:B.
3.(3分)下列所給圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、不是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,故此選項(xiàng)正確.
故選:D.
4.(3分)多項(xiàng)式x2?1與多項(xiàng)式x2?2x+1的公因式是( )
A.x?1 B.x+1 C.x2?1 D.(x?1)2
【解答】解:∵x2?1=(x+1)(x?1),
x2?2x+1=(x?1)2,
∴多項(xiàng)式x2?1與多項(xiàng)式x2?2x+1的公因式是:x?1.
故選:A.
5.(3分)已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是360°,則這個(gè)多邊形是( 。
A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形
【解答】解:設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,
則有(n?2)180°=360°,
解得:n=4,
故這個(gè)多邊形是四邊形.
故選:A.
6.(3分)下列多項(xiàng)式能用完全平方公式分解因式的有( 。
A.m2?mn+n2 B.x2+4x?4 C.x2?4x+4 D.4x2?4x+4
【解答】解:A、m2?mn+n2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特點(diǎn);
B、x2+4x?4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特 點(diǎn);
C、x2?4x+4能用完全平方公式分解因式;
D、4x2?4x+4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特點(diǎn).
故選:C.
7.(3分)如圖,將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),得點(diǎn)B,A,C′,在同一條直線上,則旋轉(zhuǎn)角∠BAB′的度數(shù)是( 。
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解答】解:旋轉(zhuǎn)角是∠BAB′=180°?30°=150°.
故選:D.
8.(3分)運(yùn)用分式的性質(zhì),下列計(jì)算正確的是( 。
A. =x4 B. =?1 C. = D. =0
【解答】解:A、 =x4,所以A選項(xiàng)計(jì)算正確;
B、 為最簡分式,所以B選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤;
C、 為最簡分式,所以C選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤;
D、 =1,所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤;
故選:A.
9.(3分)如圖,若平行四邊形ABCD的周長為40cm,BC= AB,則BC=( 。
A.16cm B.14cm C.12cm D.8cm
【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AB=CD,
∵▱ABCD的周長為40cm,
∴AB+BC=20cm,
∵BC= AB,
∴BC=20× =8 cm,
故選:D.
10.(3分)若分式方程 有增根,則m等于( )
A.3 B.?3 C.2 D.?2
【解答】解:分式方程去分母得:x?3=m,
由分式方程有增根,得到x?1=0,即x=1,
把x=1代入整式方程得:m=?2,
故選:D.
11.(3分)如圖,△ABC中,AB=AC=15,AD平分∠BAC,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),連接DE,若△CDE的周長為24,則BC的長為( 。
A.18 B.14 C.12 D.6
【解答】解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),
∴DE=CE= AC= .
∵△CDE的周長為24,
∴CD=9,
∴BC=2CD=18.
故選:A.
12.(3分)如圖,已知直線y1=x+m與y2=kx?1相交于點(diǎn)P(?1,2),則關(guān)于x的不等式x+m<kx?1的解集在數(shù)軸上表示正確的是( 。
A. B. C. D.
【解答】解:根據(jù)圖象得,當(dāng)x<?1時(shí),x+m<kx?1.
故選:D.
13.(3分)如圖,在菱形ABCD 中,對角線AC、BD 相交于點(diǎn)O,BD=8,BC=5, AE⊥BC 于點(diǎn)E,則AE的長等于( 。
A.5 B. C. D.
【解答】解:∵四邊形ABCD是菱形,BD=8,
∴BO=DO=4,∠BOC=90°,
在Rt△OBC中,OC= = =3,
∴AC=2OC=6,
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24,
解得:AE= .
故選:C.
14.(3分)定義新運(yùn)算“?”如下:當(dāng)a>b時(shí),a?b=ab+b;當(dāng)a<b時(shí),a?b=ab?b,若3?(x+2)>0,則x的取值范圍是( 。
A.?1<x<1或x<?2 B.x<?2或1<x<2 C.?2<x<1或x>1 D.x<?2或x>2
【解答】解:當(dāng)3>x+2,即x<1時(shí),3(x+2)+x+2>0,
解得:x>?2,
∴?2<x<1;
當(dāng)3<x+2,即x>1時(shí),3(x+2)?(x+2)>0,
解得:x>?2,
∴x>1,
綜上,?2<x<1或x>1,
故選:C.
15.(3分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一個(gè)等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角邊AO在x軸上,且AO=1.將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再將Rt△A1OB1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O…,依此規(guī)律,得到等腰直角三角形A2017OB2017.則點(diǎn)B2017的坐標(biāo)( 。
A.(22017,?22017) B.(22018,?22018) C.(22017,22017) D.(22018,22018)
【解答】解:∵△AOB是等腰直角三角形,OA=1,
∴AB=OA=1,
∴B(1,1),
將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,
再將Rt△A1OB1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O…,依此規(guī)律,
∴每4次循環(huán)一周,B1(2,?2),B2(?4,?4),B3(?8,8),B4(16,16),
∵2017÷4=503…1,
∴點(diǎn)B2017與B2同在一個(gè)象限內(nèi),
∵?4=?22,8=23,16=24,
∴點(diǎn)B2017(22017,?22017).
故選:A.
二、填空題(共6小題,每小題3分,滿分18分)
16.(3分)分式 有意義的x的取值范圍為 x≠1。
【解答】解:當(dāng)分母x?1≠0,即x≠1時(shí),分式 有意義.
故答案是:x≠1.
17.(3分) 若m=2,則m2?4m+4的值是 0。
【解答】解:當(dāng)m=2時(shí),原式=4?8+4=0,
故答案為:0
18.(3分)如圖,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分線上一點(diǎn),CP∥OB,交OA于點(diǎn)C,PD⊥OB,垂足為點(diǎn)D,且PC=4,則PD等于 2。
【解答】解:作PE⊥OA于E,
∵CP∥OB,
∴∠OPC=∠POD,
∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn),
∴∠POA=∠POD=15°,
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°,
∴PE= PC=2,
∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn),PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PD=PE=2,
故答案為:2.
19.(3分)不等式組 (m≠4)的解集是x>4,那么m的取值范圍是 m<4。
【解答】解:不等式組 的解集是x>4,
得m≤4(m≠4),
∴m<4,
故答案為:m<4.
20.(3分)如圖,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC方向平移2個(gè)單位后得到△DEF,連接DC,則DC的長為 4。
【解答】解:∵△ABC沿射線BC方向平移2個(gè)單位后得到△DEF,
∴DE=AB=4 ,BC?BE=6?2=4,
∵∠B=∠DEC=60°,
∴△DEC是等邊三角形,
∴DC=4,
故答案為:4.
21.(3分)如圖,正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EFC= .其中正確結(jié)論的是、佗冖邰堋。ㄖ惶钚蛱枺
【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=DC=6,∠B=D=90°,
∵CD=3DE,
∴DE=2,
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE,
∴DE=EF=2,AD=AF,∠D=∠AFE=∠AFG =90°,
∴AF=AB,
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中,
,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴①正確;
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴BG=FG,∠AGB=∠AGF,
設(shè)BG=x,則CG=BC?BG=6?x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,
在Rt△ECG中,由勾股定理得:CG2+CE2=EG2,
∵CG=6?x,CE=4,EG=x+2
∴(6?x)2+42=(x+2)2
解得:x=3,
∴BG=GF=CG=3,∴②正確;
∵CG=GF,
∴∠CFG=∠FCG,
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG,
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF,
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF,
∵∠AGB=∠AGF,∠CFG=∠FCG,
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF,∴③正確;
∵ = = ,
∴S△EFC= × •3×4= ,∴④正確,
故答案為①②③④.
三、解答題(本大題共7個(gè)小題,共57分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
22.(7分)(1)分解因式:ax2?ay2.
(2)解不等式組 ,并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來.
【解答】解:(1)原式=a(x2?y2)=a(x+y)(x?y);
(2)由①解得x<2,
由②解得x≥?2,
不等式組 的解集在數(shù)軸上表示如圖
;
不等式組的解集為?2≤x<2.
23.(7分)(1)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,CD上,AE=CF,求證:DE=BF.
(2)先化簡,再求值:( ? )÷ ,其中a=6.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD∥AB,CD=AB,
∵AE=CF,
∴DF=EB,
∴四邊形DEBF是平行四邊形,
∴DE=BF.
(2)解:原式= ×(a?2)=? ,
當(dāng)a=6時(shí),原式=?1.
24.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的位置如圖所示(每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形).
(1)將△ABC沿X軸方向向左平移6個(gè)單位,畫出平移后得到的△A1B1C1.
(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2.
(3)直接寫出點(diǎn)A2、C2的坐標(biāo).
【解答】解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求;
(2)如圖所示,△AB2C2即為所求;
(3)由以上作圖知,A2的坐標(biāo)為(1,1)、C2的坐標(biāo)為(1,?3).
25.(8分)某商店購進(jìn)甲、乙兩種商品,已知每件甲種商品的價(jià)格比每件乙種商品的價(jià)格貴10元,用350元購買甲種商品的件數(shù)恰好與用300元購買乙種商品的件數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種商品每件的價(jià)格各是多少元?
(2)計(jì)劃購買這兩種商品共50件,且投入的經(jīng)費(fèi)不超過3200元,那么,最多可購買多少件甲種商品?
【解答】解:(1)設(shè)每件乙種商品的價(jià)格為x元,則每件甲種商品的價(jià)格為(x+10)元,
根據(jù)題意得: = ,
解得:x=60,
經(jīng)檢驗(yàn),x=60是原方程的解,
∴x+10=70.
答:每件乙種商品的價(jià)格為60元,每件甲種商品的價(jià)格為70元.
(2)設(shè)購買y件甲種商品,則購買(50?y)件乙種商品,
根據(jù)題意得:70y+60(50?y)≤3200,
解得:x≤20.
答:最多可購買20件甲種商品.
26.(9分)探索發(fā)現(xiàn): =1? ; = ? ; = ? …
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律, 回答下列問題:
(1) = ? , = ? ;
(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算: + + +…+
(3)靈活利用規(guī)律解方程: + +…+ = .
【解答】解:(1) = ? , = ? ;
(2)原式=1? + ? + ? +…+ ? =1? = ;
(3) ( ? + ? +…+ ? )= ,
( ? )=
? = ,
= ,
解得x=50,
經(jīng)檢驗(yàn),x=50為原方程的根.
故答案為 ? , ? .
27.(9分)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為頂點(diǎn)作正方形EFGH.
(1)如圖1,點(diǎn)A、D分別在EH和EF上,連接BH、AF,直接寫出BH和AF的數(shù)量關(guān)系:
(2)將正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
①如圖2,判斷BH和AF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②如果四邊形ABDH是平行四邊形,請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形;如果四方形ABCD的邊長為 ,求正方形EFGH的邊長.
【解答】解:(1)在正方形ABCD中,AE=B E,∠BEH=∠AEF=90°,
∵四邊形EFGH是正方形,
∴EF=EH,
∵在△BEH和△AEF中,
,
∴△BEH≌△AEF(SAS) ,
∴BH=AF;
(2)①BH=AF,
理由:連接EG,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AE=BE,∠BEA=90°,
∵四邊形EFGH是正方形,
∴EF=EH,∠HEF=90°,
∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH,
即∠BEH=∠AEF,
在△BEH與△AEF中, ,
∴△BEH≌△AEF,
∴BH=AF;
②如備用圖,∵四邊形ABDH是平行四邊形,
∴AH∥BD,AH=BD,
∴∠EAH=∠AEB=90°,
∵四方形ABCD的邊長為 ,
∴AE=BE=CE=DE=1,
∴EH= = = ,
∴正方形EFGH的邊長為 .
28.(9分)如圖,矩形ABCO中,點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(?6,8).矩形ABCO沿直線BD折疊,使得點(diǎn)A落在對角線OB上的點(diǎn)E處,折痕與OA、x軸分別交于點(diǎn)D、F.
(1)直接寫出線段BO的長:
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)N是平面內(nèi)任一點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)M,使咀M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 ?若存在,請直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【解答】解:(1)∵四邊形ABCO是矩形,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(?6,8).
∴∠BAD=∠OCB=90°,AB=OC=6,OA=BC=8,
∴BO= =10;
(2)由折疊的性質(zhì)得:BE=AB=6,∠BED=∠BAD=90°,DE=AD,
∴OE=BO?BE=10?6=4,∠OED=90°,
設(shè)D(0,a),則OD=a,DE=AD=OA?OD=8?a,
在Rt△EOD中,由勾股定理得:DE2+OE2=OD2,
即(8?a)2+42=a2,解得:a=5,
∴D(0,5);
(3)存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0)或(?4,0)或(? ,0)或(? ,0);理由如下:
①當(dāng)OM、OE都為菱形的邊時(shí),OM=OE=4,
∴M的坐標(biāo)為(4,0)或(?4,0);
②當(dāng)OM為菱形的邊,OE為對角線時(shí),MN垂直平分OE,垂足為G,如圖1所示:
則OG= OE=2,
則cos∠MOG=cos∠BOC,
∴ ,即 ,
解得:OM= ,
∴M(? ,0);
③當(dāng)OM為菱形的對角線,OE為邊時(shí),如圖2所示:
同②得:M(? ,0);
綜上所述,在x軸上存在點(diǎn)M,使以M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0)或(?4,0)或(? ,0)或(? ,0).
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