2015屆南通市高三數(shù)學(xué)期末考試一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．1. ?復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）的虛部為 ．?某同學(xué)在7天內(nèi)每天參加體育鍛煉的時(shí)間（單位：分鐘）用莖葉圖表示如圖，圖中左列表示時(shí)間的十位數(shù)，右列表示時(shí)間的個(gè)位數(shù).則這7天?函數(shù)的值域?yàn)?．? 分別在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7，8}中各取一個(gè)數(shù)相乘，則積為偶數(shù)的概率為 ．?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為，則雙曲線C的離心率為 . 6． 如圖是計(jì)算的值的一個(gè)流程圖，則常數(shù)a的取值范圍是 ．?函數(shù)y =的圖象可由函數(shù)y = sin?x的圖象作兩次變換得到，第一次變換是針對函數(shù)y = sin?x的圖象而言的，第二次變換是針對第一次變換所得圖象而言的．A. 圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位；B. 圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位；C. 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）；D. 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮�縱坐標(biāo)不變）.請按順序?qū)懗鰞纱巫儞Q的代表字母： .（只要填寫一組）8. ?記max{a，b}為a和b兩數(shù)中的較大數(shù)．設(shè)函數(shù)和的定義域都是R，則“和都是偶函數(shù)”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的 條件．? 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：關(guān)于直線l：對稱的圓C2的方程為 ．，②，③．x至少滿足①和②中的一個(gè)，則m的取值范圍是 ．?設(shè)，且，則的值為 ． 12. ?設(shè)平面向量a，b滿足，則a?b的最小值為 ．?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為 ．?設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)镽，周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；已知函數(shù) 則函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ．二、解答題：本大題共6小題，共90分．，b，其中．，求的值；（2）設(shè)向量c，且a + b = c，求的值．16．如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAC平面ABC，，E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在棱AB上，且．求證：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC．17．如圖，港口A在港口O的正東120海里處，小島B在港口O的北偏東的方向，且在港口A北偏西的方向上．的OD方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O．．．的各項(xiàng)均為整數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列中的項(xiàng)． 19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長為2，橢圓C上?的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為．．．，其圖象在點(diǎn)處切線的斜率為．的單調(diào)區(qū)間（用只含有的式子表示）；（2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)根，是，的等差中項(xiàng)，求證：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）． 2. 72 3. 4. 5. 2 6. 7. BD（DA） 8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 513. 14. 1515.【解】（1）因?yàn)閍，b，所以． ……2分因?yàn)�，所以a?b = 0．……………………………4分于是，故． …………6分（2）因?yàn)閍 + b ，所以…………………………8分 由此得，由，得，又，故． ………………………………10分代入，得．…………………12分而，所以．…………………14分16. 【證】（1）在△PAC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，所以EF // PC．………2分又因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC．………………5分（2）連結(jié)CD．因?yàn)�，，所以△ACD為正三角形．因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以．…………………7分因?yàn)槠矫鍼AC?平面ABC，平面ABC，平面PAC?平面ABC，所以平面PAC．?……………………11分因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面DEF平面PAC．…………………………14分17.【解】（1）由題意知，在△OAB中， OA=120，．，而快艇的速度為60海里/小時(shí)，所以快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間為1小時(shí)．．．，而在△OCB中，，………………………9分由余弦定理，得，即，亦即，解得或（舍去）．即給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇？…14分18.【解】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，而，于是．…2分 設(shè)的公差為d，則由得， 化簡得，即，解得或， 但若，由知不滿足“數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)”，故．………5分 于是．……………………………………………………7分（2）因?yàn)�，�?……10分所以要使為數(shù)列中的項(xiàng)，必須是3的倍數(shù)，于是在中取值，但由于是3的倍數(shù)，所以或．由得；由得． …………………………………………13分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以所求m的值為3和4．…………………………………………………………16分另解：因?yàn)?，所以要使為數(shù)列中的項(xiàng)，必須是3的倍數(shù)，于是只能取1或．（后略）19.【解】（1）由題意，可設(shè)橢圓C的方程為，焦距為2c，離心率為e．．，則，于是當(dāng)d最小即P為右頂點(diǎn)時(shí)，PF取得最小值，所以．所以橢圓方程為．到直線的距離為h，則由題設(shè)及面積公式知．的斜率不存在或斜率為時(shí)，或于是．的斜率存在且不為時(shí)，則，解得 同理………………………………………9分在Rt△OAB中，，則 ，所以．到直線的距離為定值．，所以．的最小值即求的最小值．， 令，則，于是， …………………14分 因?yàn)椋�所以�?當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最小值，因而 所以的最小值為．的定義域?yàn)椋�，則，即．．①當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)減函數(shù)；?②當(dāng)時(shí)，令，得（負(fù)舍）， 所以在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)； ③當(dāng)時(shí)，若，則恒成立，在上單調(diào)減函數(shù)； 若，令，得（負(fù)舍）， 所以在上單調(diào)增函數(shù)，在上單調(diào)減函數(shù)； 綜上，若，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為； 若，的單調(diào)減區(qū)間為；若，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．，所以，即．的兩零點(diǎn)為，，則相減得：， 因?yàn)?，所以， 于是 ．，， 則，則在上單調(diào)遞減， 則，又，則．．附加題：21A. 如圖，AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)C．．．．．△CDO，從而AB = CO，即2OB = OB + BC，得OB = BC．．21B. 已知矩陣A的逆矩陣A，求矩陣A的特征值．【】因?yàn)锳A=E，所以A =(A)．因?yàn)锳，所以A =(A)．于是矩陣A的特征多項(xiàng)式為f (λ)= λ2－3λ－4，令f (λ) = 0，解得A的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．21C. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓（為參數(shù)）的左焦點(diǎn)，且與直線（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．，左焦點(diǎn)………………………………………3分 直線的普通方程：. …………………………………………………………6分 設(shè)過焦點(diǎn)且與直線平行的直線為 將代入， 所求直線的普通方程為．21D.?已知實(shí)數(shù)x，y滿足： x + y ，，求證： y ．． x + y ，，． y ．．從棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量ξ．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ?)．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取點(diǎn)，種．，正方體每個(gè)面上均有兩條對角線，所以共有條．．的取值共有1，，三種情況．．．的分布列是1P()…………………………………………………………………8分因此． …………………………………………10分23．，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)M為拋物線C上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線MF交拋物線C于另一點(diǎn)N，鏈接ME，NE并延長分別交拋物線C與點(diǎn)P，Q．（1）當(dāng)MN?Ox時(shí)，求直線PQ與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線MN，PQ的斜率存在且分別記為k1，k2時(shí)，求證：．【解】（1）拋物線C：的焦點(diǎn)F(1，0) ．當(dāng)MN?Ox時(shí)，直線MN的方程為 ． 將代入拋物線方程，得．?不妨設(shè)，則直線ME的方程為，由解得或，于是得．同理得，所以直線的方程為．故直線PQ與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(4，0)．………………………………………………4分?（2）設(shè)直線MN的方程為，?并設(shè)．由，于是①，從而②．設(shè)直線MP的方程為，由，所以③，④．同理⑤，⑥．由①②③④⑤⑥，得． 即．…………………………………………………………………………10分 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 13 1 每天發(fā)布最有價(jià)值的6785 5 63 40 1開始結(jié)束輸出SYNn
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