2018高三數(shù)學(xué)下冊期中試題(理科)

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2018高三數(shù)學(xué)下冊期中試題(理科)

(考試時間120分鐘 滿分150分)

本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分

第一部分(選擇題 共40分)

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.

(1)復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 ,集合 ,則

(A) (B) (C) (D)

(3)已知平面向量 , 滿足 , ,則 與 的夾角為

(A) (B) (C) (D)

(4)如圖,設(shè)區(qū)域 ,向區(qū)域 內(nèi)

隨機(jī)投一點,且投入到區(qū)域內(nèi)任一點都是等可能的,則點落

入到陰影區(qū)域 的概率為

(A) (B)

(C) (D)

(5)在 中, , ,則“ ”

是“ ”的

(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件

(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件

(6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為

(A) (B)

(C) (D)

(7)已知函數(shù) .下列命題:

①函數(shù) 的圖象關(guān)于原點對稱; ②函數(shù) 是周期函數(shù);

③當(dāng) 時,函數(shù) 取最大值;④函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象沒有公共點,其中正確命題的序號是

(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④

(8)直線 與圓 交于不同的兩點 , ,且 ,其中 是坐標(biāo)原點,則實數(shù) 的取值范圍是

(A) (B)

(C) (D)

第二部分(非選擇題 共110分)

二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在答題卡上.

(9)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 中, , ,則該數(shù)列的前4項和

為 .

(10)在極坐標(biāo)系中, 為曲線 上的點, 為曲線 上的點,則線段

長度的最小值是 .

(11)某三棱錐的三視圖如圖所示,則這個三棱錐的體積

為 ;表面積為 .

(12)雙曲線 的一個焦點到其漸近線的距離是 ,則 ;

此雙曲線的離心率為 .

(13)有標(biāo)號分別為1,2,3的紅色卡片3張,標(biāo)號分別為1,2,3的

藍(lán)色卡片3張,現(xiàn)將全部的6張卡片放在2行3列的格內(nèi)

(如圖).若顏色相同的卡片在同一行,則不同的放法種數(shù)

為 .(用數(shù)字作答)

(14)如圖,在四棱錐 中, 底面 .底面 為梯形, , ∥ , , .若點 是線段 上的動點,則滿足 的點 的個數(shù)是 .

三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.

(15)(本小題滿分13分)

已知函數(shù) , .

(Ⅰ)求 的值及函數(shù) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函數(shù) 在 上的單調(diào)減區(qū)間.

(16)(本小題滿分13分)

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才.對 位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試,其測試結(jié)果如下表:

一般 良好 優(yōu)秀

一般

良好

優(yōu)秀

例如,表中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有 人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這 位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為 .

(I)求 , 的值;

(II)從參加測試的 位學(xué)生中任意抽取 位,求其中至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思

維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率;

(III)從參加測試的 位學(xué)生中任意抽取 位,設(shè)運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)

生人數(shù)為 ,求隨機(jī)變量 的分布列及其數(shù)學(xué)期望 .

(17)(本小題滿分14分)

如圖,四棱錐 的底面為正方形,側(cè)面 底面 . 為等腰直角三角形,且 . , 分別為底邊 和側(cè)棱 的中點.

(Ⅰ)求證: ∥平面 ;

(Ⅱ)求證: 平面 ;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值.

(18)(本小題滿分13分)

已知函數(shù) , .

(Ⅰ)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù) 在區(qū)間 的最小值為 ,求 的值.

(19)(本小題滿分14分)

已知橢圓 經(jīng)過點 ,離心率為 .(Ⅰ)求橢圓 的方程;

(Ⅱ)直線 與橢圓 交于 兩點,點 是橢圓 的右頂點.直線 與直線 分別與 軸交于點 ,試問以線段 為直徑的圓是否過 軸上的定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,說明理由.

(20)(本小題滿分13分)

從 中這 個數(shù)中取 ( , )個數(shù)組成遞增等差數(shù)列,所有可能的遞增等差數(shù)列的個數(shù)記為 .

(Ⅰ)當(dāng) 時,寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及 的值;

(Ⅱ)求 ;

(Ⅲ)求證: .

北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)答案(理工類) 2018.3

一、選擇題

題號 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A B A B D C D

二、填空題

題號 9 10 11 12 13 14

答案

2

2

三、解答題

15. (本小題滿分13分)

解:

.

(Ⅰ) .

顯然,函數(shù) 的最小正周期為 . …………… 8分

(Ⅱ)令 得

, .

又因為 ,所以 .

函數(shù) 在 上的單調(diào)減區(qū)間為 . …………… 13分

16. (本小題滿分13分)

解:(I)設(shè)事件 :從 位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生.

由題意可知,運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有 人.

則 .

解得 .

所以 . …………… 4分

(II)設(shè)事件 :從 人中任意抽取 人,至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生.

由題意可知,至少有一項能力測試優(yōu)秀的學(xué)生共有 人.

則 . …………… 7分

(III) 的可能取值為 , , .

位學(xué)生中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 人.

所以 ,

,

.

所以 的分布列為

0 1 2

所以, . …………… 13分

17. (本小題滿分14分)

(Ⅰ)證明:取 的中點 ,連接 , .

因為 , 分別是 , 的中點,

所以 是△ 的中位線.

所以 ∥ ,且 .

又因為 是 的中點,且底面 為正方形,

所以 ,且 ∥ .

所以 ∥ ,且 .

所以四邊形 是平行四邊形.

所以 ∥ .

又 平面 , 平面 ,

所以 平面 . ……………4分

(Ⅱ)證明: 因為平面 平面 ,

,且平面 平面 ,

所以 平面 .

所以 , .

又因為 為正方形,所以 ,

所以 兩兩垂直.

以點 為原點,分別以 為 軸,

建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

由題意易知 ,

設(shè) ,則

, , , , , , .

因為 , , ,

且 ,

所以 , .

又因為 , 相交于 ,所以 平面 . …………… 9分

(Ⅲ)易得 , .

設(shè)平面 的法向量為 ,則

所以 即

令 ,則 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ,

所以 .

由圖可知,二面角 的大小為銳角,

所以二面角 的余弦值為 . ……………14分

18. (本小題滿分13分)

解:函數(shù) 的定義域是 , .

(Ⅰ)(1)當(dāng) 時, ,故函數(shù) 在 上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng) 時, 恒成立,所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減.

(3)當(dāng) 時,令 ,又因為 ,解得 .

①當(dāng) 時, ,所以函數(shù) 在 單調(diào)遞減.

②當(dāng) 時, ,所以函數(shù) 在 單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng) 時,函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ,

當(dāng) 時,函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ,單調(diào)增區(qū)間為 .…7分

(Ⅱ)(1)當(dāng) 時,由(Ⅰ)可知, 在 上單調(diào)遞減,

所以 的最小值為 ,解得 ,舍去.

(2)當(dāng) 時,由(Ⅰ)可知,

①當(dāng) ,即 時,函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,

所以函數(shù) 的最小值為 ,解得 .

②當(dāng) ,即 時,函數(shù) 在 上單調(diào)遞減,

在 上單調(diào)遞增,所以函數(shù) 的最小值為 ,

解得 ,舍去.

③當(dāng) ,即 時,函數(shù) 在 上單調(diào)遞減,

所以函數(shù) 的最小值為 ,得 ,舍去.

綜上所述, . ……………13分

19. (本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)由題意得 ,解得 , .

所以橢圓 的方程是 . …………… 4分

(Ⅱ)以線段 為直徑的圓過 軸上的定點.

由 得 .

設(shè) ,則有 , .

又因為點 是橢圓 的右頂點,所以點 .

由題意可知直線 的方程為 ,故點 .直線 的方程為 ,故點 .

若以線段 為直徑的圓過 軸上的定點 ,則等價于 恒成立.

又因為 , ,

所以 恒成立.

又因為

,

所以 .

解得 .

故以線段 為直徑的圓過 軸上的定點 . …………… 14分

20. (本小題滿分13分)

解:(Ⅰ)符合要求的遞增等差數(shù)列為1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4個.

所以 . …………… 3分

(Ⅱ)設(shè)滿足條件的一個等差數(shù)列首項為 ,公差為 , .

, , 的可能取值為 .

對于給定的 , , 當(dāng) 分別取 時,可得遞增等差數(shù)列 個(如: 時, ,當(dāng) 分別取 時,可得遞增等差數(shù)列91個: ; ; ; ,其它同理).

所以當(dāng) 取 時,可得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)為:

.…………… 8分

(Ⅲ)設(shè)等差數(shù)列首項為 ,公差為 ,

記 的整數(shù)部分是 ,則 ,即 .

的可能取值為 ,

對于給定的 , ,當(dāng) 分別取 時,可得遞增等差數(shù)列 個.

所以當(dāng) 取 時,得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)

易證 .

又因為 , ,

所以 .

所以

.

即 . …………… 13分


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