高三數(shù)學(xué)下冊期中試卷[1]

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)試卷(理科)
本試卷共4 頁,150 分.考試時長120 分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上
作答無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題共8 小題,每小題5 分,共40 分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目
要求的一項.
1.函數(shù) 的定義域為
A.[0,+ )  B.[1,+ )  C.(- ,0] D.(- ,1]
2.某程序的框圖如圖所示,若輸入的z=i(其中i為虛數(shù)單位),則輸出的S 值為
A.-1   
B.1    
C.-i   
D.i
3.若x,y 滿足 ,則 的最大值為
A.     B.3
C.     D.4
4.某三棱錐的三視圖如圖所示,則其體積為
A.    B.
C.   D.
5.已知數(shù)列 的前n 項和為Sn,則“ 為常數(shù)列”是“ ”的
A.充分不必要條件   B.必要不充分條件
C.充分必要條件    D.既不充分也不必要條件
6.在極坐標(biāo)系中,圓C1 : 與圓C2: 相交于 A,B兩點,則|AB|=
A.1   B.   C.    D. 2
7.已知函數(shù) 是偶函數(shù),則下列結(jié)論可能成立的是
A.   B.
C.    D.
8.某生產(chǎn)基地有五臺機器,現(xiàn)有五項工作待完成,每臺機器完成每項工作后獲得的效益值
如表所示.若每臺機器只完成一項工作,且完成五項工作后獲得的效益值總和最大,則
下列敘述正確的是

A.甲只能承擔(dān)第四項工作  B.乙不能承擔(dān)第二項工作
C.丙可以不承擔(dān)第三項工作  D.丁可以承擔(dān)第三項工作
二、填空題共6 小題,每小題5 分,共30 分.
9.已知向量 ,若 ,則t = _______.
10.在等比數(shù)列 中,a2=2,且 ,則 的值為_______.
11.在三個數(shù) 中,最小的數(shù)是_______.
12.已知雙曲線C: 的一條漸近線l 的傾斜角為 ,且C 的一個焦點到l 的距離
為 ,則C 的方程為_______.
13.如圖,在三角形三條邊上的6個不同的圓內(nèi)分別填入數(shù)字1,2,3 中的一個.
(?)當(dāng)每條邊上的三個數(shù)字之和為4 時,不同的填法有_______種;
(?)當(dāng)同一條邊上的三個數(shù)字都不同時,不同的填法有_______種.

14.已知函數(shù) ,對于實數(shù)t ,若存在a>0,b >0 ,滿足: ,使得
2,則記a+b的最大值為H(t ).
(?)當(dāng) =2x時,H(0)= _______.
(?)當(dāng) 且t 時,函數(shù)H(t)的值域為_______.
三、解答題共6 小題,共80 分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
15.(本小題滿分13 分)
如圖,在△ABC 中,點D在邊 AB上,且 .記∠ACD= ,∠BCD= .
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若 ,求BC 的長.

16.(本小題滿分13 分)
2004 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推
廣.2018 年12 月10 日,我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法
上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎.目前,國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速.
某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗田中
分別種植了100 株青蒿進行對比試驗.現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4
株青蒿作為樣本,每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:克)如下表所示:

(Ⅰ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量;
(Ⅱ)記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為 , ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),
試估計 與 的大小關(guān)系(只需寫出結(jié)論);
(Ⅲ)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1 株,記這2 株的產(chǎn)量總和為 ,求
隨機變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.(本小題滿分14 分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,點M ,N
分別為線段PB,PC 上的點,MN⊥PB.
(Ⅰ)求證: BC⊥平面PAB ;
(Ⅱ)求證:當(dāng)點M 不與點P ,B 重合時,M ,N ,D , A 四個點在同一個平面內(nèi);
(Ⅲ)當(dāng)PA=AB=2,二面角C-AN -D的大小為 時,求PN 的長.

18.(本小題

題滿分13 分)
已知函數(shù)f (x) =ln x+ -1,
(Ⅰ)求函數(shù) f (x)的最小值;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)求證:直線 y=x不是曲線 y =g(x)的切線。
19.(本小題滿分14 分)
已知橢圓C: 的離心率為 ,橢圓C 與y 軸交于A , B 兩點,
且|AB|=2.
(Ⅰ)求橢圓C 的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是橢圓C上的一個動點,且點P在 y軸的右側(cè).直線PA,PB與直線x= 4
分別交于M , N 兩點.若以MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點E , F ,求點P 橫
坐標(biāo)的取值范圍及|EF|的最大值.
20.(本小題滿分13 分)
給定正整數(shù)n(n≥3),集合 .若存在集合A,B,C,同時滿足下
列條件:
① U n =A∪B∪C,且A∩B = B∩C =A∩C= ;
②集合A 中的元素都為奇數(shù),集合B 中的元素都為偶數(shù),所有能被3 整除的數(shù)都在集
合C 中(集合C 中還可以包含其它數(shù));
③集合A , B ,C 中各元素之和分別記為SA , SB ,SC ,有SA =SB =SC ;
則稱集合 Un為可分集合.
(Ⅰ)已知U8為可分集合,寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A , B ,C ;
(Ⅱ)證明:若n 是3 的倍數(shù),則Un不是可分集合;
(Ⅲ)若Un為可分集合且n 為奇數(shù),求n 的最小值.
(考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效)

海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期中練習(xí)參考答案
數(shù)學(xué)(理科) 2019.4
閱卷須知:
1.評分參考中所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。
2.其它正確解法可以參照評分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C A C B C B
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,
共30分)
9.
10.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.解:(Ⅰ)
在 中,由正弦定理,有 …………………2分
在 中,由正弦定理,有 …………………4分
因為 ,所以 …………………6分
因為 , 所以 …………………7分
(Ⅱ)因為 , ,
由(Ⅰ)得 …………………9分
設(shè) ,由余弦定理,
…………………11分
代入,得到 ,
解得 ,所以 . …………………13分
16解: (I)由山下試驗田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù),得樣本平均數(shù)
…………………2分
則山下試驗田 株青蒿的青蒿素產(chǎn)量 估算為
g …………………3分
(Ⅱ)比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差 和 ,結(jié)果為 .
…………………6分
(Ⅲ)依題意,隨機變量 可以取 , …………………7分
,
,
, …………………9分

7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4
p

隨機變量 的分布列為

…………………11分
隨機變量 的期望 .
…………………13分
17解:
(Ⅰ)證明:在正方形 中, , ………………

…1分
因為 平面 , 平面 , 所以 . …………………2分
因為 ,且 , 平面 ,
所以 平面 …………………4分
(Ⅱ)證明:因為 平面 , 平面 ,
所以 …………………5分
在 中, , ,
所以 . …………………6分
在正方形 中, , 所以 , …………………7分
所以 可以確定一個平面,記為
所以 四個點在同一個平面 內(nèi) …………………8分
(Ⅲ)因為 平面 , 平面 ,
所以 , .
又 ,如圖,以 為原點, 所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系 , …………………9分
所以 .
設(shè)平面 的一個法向量為 ,
平面 的一個法向量為 ,
設(shè) , ,
因為 ,所以 ,
又 ,所以 ,即 ,…………………10分
取 , 得到 , …………………11分
因為 ,
所以 ,即 ,
取 得, 到 , …………………12分
因為二面 大小為 , 所以 ,
所以
解得 , 所以 …………………14分
18解: (Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 , …………………1分
…………………2分
當(dāng) 變化時, , 的變化情況如下表:










極小值
…………………4分
函數(shù) 在 上的極小值為 ,
所以 的最小值為 …………………5分
(Ⅱ)解:函數(shù) 的定義域為 , …………………6分
…………………7分
由(Ⅰ)得, ,所以 …………………8分
所以 的單調(diào)增區(qū)間是 ,無單調(diào)減區(qū)間. …………………9分
(Ⅲ)證明:假設(shè)直線 是曲線 的切線. ………………10分
設(shè)切點為 ,則 ,即 …………………11分
又 ,則 . …………………12分
所以 , 得 ,與 矛盾
所以假設(shè)不成立,直線 不是曲線 的切線 …………………13分
19解:(Ⅰ)由題意可得, , …………………1分
, …………………2分
得 , …………………3分
解 , …………………4分
橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . …………………5分
(Ⅱ)設(shè) , , ,
所以 ,直線 的方程為 , …………………6分

>同理:直線 的方程為 ,
直線 與直線 的交點為 , …………………7分
直線 與直線 的交點為 ,
線段 的中點 , …………………8分
所以圓的方程為 , …………………9分
令 ,則 , …………………10分
因為 ,所以 , …………………11分
所以 ,
因為這個圓與 軸相交,該方程有兩個不同的實數(shù)解,
所以 ,解得 . …………………12分
設(shè)交點坐標(biāo) ,則 ( )
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法二:(Ⅱ)設(shè) , , ,
所以 ,直線 的方程為 , …………………6分
同理:直線 的方程為 ,
直線 與直線 的交點為 , …………………7分
直線 與直線 的交點為 ,
若以MN為直徑的圓與x軸相交,
則 , …………………9分

即 …………………10分
因為 ,所以 , …………………11分
代入得到 ,解得 . …………………12分
該圓的直徑為 ,
圓心到x軸的距離為 ,
該圓在x軸上截得的弦長為 ;
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法三:
(Ⅱ)設(shè) , , ,
所以 ,直線 的方程為 , …………………6分
同理:直線 的方程為 ,
直線 與直線 的交點為 , …………………7分
直線 與直線 的交點為 ,
所以 , …………………8分
圓心到x軸的距離為 , …………………9分
若該圓與 軸相交,則 , …………………10分
即 ,
因為 ,所以 , …………………11分
所以 ,解得 …………………12分
該圓在x軸上截得的弦長為 ;
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法四: 記 , ,設(shè)
由已知可得 ,
所以 的直線方程為 , ……………………….6分
的直線方程為 ,
令 ,分別可得 ,
, ……………………….8分
所以
若以 為直徑的圓與 軸相交于 ,
因為 , 所以 , ……………………….9分

……………………….10分
因為 ,所以 , ……………………….11分
代入得到
所以 , ……………………….12分
所以
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法五:
設(shè)直線 與 交于點
因為 軸,所以有
所以 ,所以 ,所以 是 的中點. ……………………….6分
又設(shè) , 所以直線 方程為 , ……………………….7分
令 ,得 , 所以

……………………….8分
而 ……………………….9分
若以 為直徑的圓與 軸相交于
則 ……………………….10分
所以
因為 ,所以 ,代入得到 ……………………….11分
所以 ,所以 或
因為點 ,所以 ……………………….12分


所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
20解:
(I)依照題意,可以取 , , …………………3分
(II)假設(shè)存在 是 的倍數(shù)且 是可分集合.
設(shè) ,則依照題意 ,
故 ,
而這 個數(shù)的和為 ,故 , 矛盾,
所以 是3的倍數(shù)時, 一定不是可分集合 …………………7分
(Ⅲ) 35. …………………8分
因為所有元素和為 ,又 中元素是偶數(shù),所以 = ( 為正整數(shù))
所以 ,因為 為連續(xù)整數(shù),故這兩個數(shù)一個為奇數(shù),另一個為偶數(shù)
由(Ⅱ)知道, 不是3的倍數(shù),所以一定有 是 的倍數(shù).
當(dāng) 為奇數(shù)時, 為偶數(shù),而 ,
所以一定有 既是 的倍數(shù),又是 的倍數(shù),所以 ,
所以 . …………………10分
定義集合 ,即集合 由集合 中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成,
定義集合 ,即集合 由集合 中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成,
根據(jù)集合 的性質(zhì)知道,集合 ,
此時集合 中的元素之和都是 ,而 ,
此時 中所有 的倍數(shù)的和為 ,
,
顯然必須從集合 中各取出一些元素,這些元素的和都是 ,
所以從集合 中必須取偶數(shù)個元素放到集合 中,所以 ,
所以 ,此時
而令集合 ,
集合 ,
集合 ,
檢驗可知,此時 是可分集合, 所以 的最小值為 . …………………13分


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