高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)提分專練(含答案)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中常見的一類關(guān)于角度的函數(shù),以下是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)提分專練,請考生認真做題。

一、選擇題

1.已知函數(shù)y=Asin(x+)+k的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x=是其圖象的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式為()

A.y=4sin B.y=2sin+2

C.y=2sin+2 D.y=2sin+2

答案:D 解題思路:由題意:解得:又函數(shù)y=Asin(x+)+k最小正周期為,

==4, f(x)=2sin(4x+)+2.又直線x=是f(x)圖象的一條對稱軸,

4++, -,kZ,故可得y=2sin+2符合條件,所以選D.

2.函數(shù)f(x)=2sin(x+)(0,0)的部分圖象如圖所示,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(x)的遞增區(qū)間是()

A.[6k-1,6k+2](kZ) B.[6k-4,6k-1](kZ)

C.[3k-1,3k+2](kZ) D.[3k-4,3k-1](kZ)

答案:B 解題思路:|AB|=5,|yA-yB|=4,所以|xA-xB|=3,即=3,所以T==6,=.由f(x)=2sin過點(2,-2),即2sin=-2,0,解得=.函數(shù)f(x)=2sin,由2kx++,解得6k-46k-1,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[6k-4,6k-1](kZ).

3.當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)=Asin(x+0)取得最小值,則函數(shù)y=f是()

A.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點對稱

B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(,0)對稱

C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=對稱

D.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點對稱

答案:C 解題思路:由已知可得f=Asin+=-A, +2k(kZ),

f(x)=Asin,

y=f=Asin(-x)=-Asin x,

函數(shù)是奇函數(shù),關(guān)于直線x=對稱.

4.將函數(shù)y=sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,再向右平移個單位,得到的函數(shù)的一個對稱中心是()

A. B.

C. D.

答案:A 命題立意:本題考查了三角函數(shù)圖象的平移及三角函數(shù)解析式的對應(yīng)變換的求解問題,難度中等.

解題思路:將函數(shù)y=sin圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,得y=sin,再向右平移個單位,得y=sin=sin 2x,令2x=k,kZ可得x=k,kZ,即該函數(shù)的對稱中心為,kZ,故應(yīng)選A.

易錯點撥:周期變換與平移變換過程中要注意變換的僅是x,防止出錯.

5.已知函數(shù)f(x)=sin(xR,0)的部分圖象如圖所示,點P是圖象的最高點,Q是圖象的最低點,且|PQ|=,則f(x)的最小正周期是()

A.6B.4C.4 D.6

答案:D 解題思路:由于函數(shù)f(x)=sin,則點P的縱坐標是1,Q的縱坐標是-1.又由|PQ|==,則xQ-xP=3,故f(x)的最小正周期是6.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+cos x,把f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m0)平移后的圖象恰好為函數(shù)y=-f(x)的圖象,則m的最小值為()

A. B.

C. D.

答案:C 解題思路:f(x)=sin x+cos x=sinx+,y=-f(x)=-(cos x-sin x)=sin, 將f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m0)平移后得到y(tǒng)=sin的圖象, sin=sin.故m=+2k,kN,故m的最小值為.

二、填空題

7.(哈爾濱二模)函數(shù)f(x)=Asin(x+)+k的圖象如圖所示,則f(x)的表達式是f(x)=______.

答案:sin+1 命題立意:本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查待定系數(shù)法,難度較小.

解題思路:據(jù)圖象可得A+k=,-A+k=-,解得A=,k=1,又周期T=2==2,即此時f(x)=sin(2x+)+1,又由f=-,可得=,故f(x)=sin+1.

8.已知函數(shù)f(x)=sin(0)在(0,2]上恰有一個最大值1和一個最小值-1,則的取值范圍為______.

答案: 命題立意:本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力.求函數(shù)f(x)=sin(0,x(0,2])的最大值與最小值,一般通過整體代換轉(zhuǎn)化到正弦函數(shù)的圖象上求解.運用整體換元解題,是指通過觀察和分析,把解題的注意力和著眼點放在問題的整體形式和結(jié)構(gòu)特征上,從而觸及問題的本質(zhì).通過換元,使之化繁為簡,化難為易,從而達到求解的目的,是提高解題速度的有效途徑.

解題思路:設(shè)t=x+,t,因為f(t)=sin t在t上有一個最大值1和一個最小值-1,則解得所以.

9.已知a2sin +acos -2=0,b2sin +bcos -2=0(a,b,R,且ab),直線l過點A(a,a2),B(b,b2),則直線l被圓(x-cos )2+(y-sin )2=4所截得的弦長為________.

答案:2 命題立意:本題考查直線與圓的方程及點到直線距離公式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想及化簡運算能力,難度中等.

解題思路:據(jù)已知a,b可視為方程x2sin +xcos -2=0的兩根,由韋達定理可得a+b=-,ab=-,又因為直線AB的方程為y=(a+b)x-ab,故圓心到直線距離d====1,故所求弦長為2=2.

三、解答題

10.已知a=(2cos x+2sin x,1),b=(y,cos x),且a∥b.

(1)將y表示成x的函數(shù)f(x),并求f(x)的最小正周期;

(2)記f(x)的最大值為M,a,b,c分別為ABC的三個內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊長,若f=M,且a=2,求bc的最大值.

解析:(1)由a∥b得,2cos2x+2sin xcos x-y=0,

即y=2cos2x+2sin xcos x

=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1,

所以f(x)=2sin+1.

又T===,

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.

(2)由(1)易得M=3,

于是由f=M=3,即2sin+1=3sin=1,因為A為三角形的內(nèi)角,所以A=.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc2bc-bc=bc,解得bc4,于是當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時,bc取得最大值,且最大值為4.

11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x,x[0,].

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;

(2)若ABC中,f=,a=2,b=,求角C.

命題立意:本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù)f(x)化簡,然后在所給角的取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用正弦定理進行求解.

解析:(1)因為f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2xcos +cos 2xsin +cos 2xcos +sin 2xsin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.

所以f(x)的最小正周期T==.

因為x[0,],所以2x+,

當(dāng)2x+,即x時,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);

當(dāng)2x+,即x時,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);

當(dāng)2x+,即x時,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)因為在ABC中,f=,

所以sin=,所以sin=1,

因為0

又因為a=2,b=,所以由正弦定理=,得=,

所以sin B=,即B=或B=,

所以C=或C=.

鏈接高考:高考對于三角函數(shù)的考查一般是綜合考查同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式,運用這些公式先對函數(shù)解析式進行化簡,再進一步研究其性質(zhì).

12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+),其中A0,.

(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點E,F(xiàn),求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)如圖,點M,N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個相鄰交點,函數(shù)圖象上一點P滿足=,求函數(shù)f(x)的最大值.

命題立意:本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關(guān)內(nèi)容以及由f(x)=Asin(x+)的部分圖象確定其解析式等知識.對于第(1)問,根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點E,F(xiàn)建立方程組,可求得的值,利用f=,可求得A的值,從而可得函數(shù)解析式;對于第(2)問,一種方法是先求出點M,N的坐標,再利用=,即可求出函數(shù)f(x)的最大值;另一種方法是過點P作PC垂直x軸于點C,利用=,求得||=,從而||=||-||=,由此可得+2t=,利用P在函數(shù)f(x)圖象上,即可求得函數(shù)f(x)的最大值.

解析:(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點E,F(xiàn),

sin=sin,

展開得cos +sin =.

cos =sin ,tan =,

, =,

函數(shù)f(x)=Asin,

f=,

A=2.

f(x)=2sin.

(2)解法一:令f(x)=Asin(2x+)=0, 2x+=k,kZ, 點M,N分別位于y軸兩側(cè),則可得M,N,

=,=,

==, +t=,

+2t=.

P在函數(shù)圖象上,

Asin(+2t)=Asin=,

A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.

解法二:過點P作PC垂直x軸于點C.

令f(x)=Asin(2x+)=0. 2x+=k,kZ,

M,N分別位于y軸兩側(cè),可得M,N, ||=,

=||||cos PNM

=||cos PNM=||=,

||=, ||=||-||=,

即+t=.

+2t=, Asin(+2t)=Asin =,

A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.

名師語要:本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合起來進行考查,既考查了三角函數(shù)有關(guān)的運算,又考查了向量的數(shù)量積運算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合考查,也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結(jié)合起來考查.

13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;

(2)若f(x0)=,x0,求cos 2x0的值.

解析:(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1,得

f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

=sin 2x+cos 2x=2sin,

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.

因為f(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又f(0)=1,f=2,f=-1,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2,最小值為-1.

(2)由(1)可知f(x0)=2sin,

因為f(x0)=,所以sin=.

由x0,得2x0+,

從而cos=-=-,

所以cos 2x0=cos

=coscos +sinsin

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