高二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)月考試卷[1]

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分)
1.設(shè)l、m、n均為直線,其中m、n在平面α內(nèi),則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的 (   )
  A.充分不必要條件    B.必要不充分條件
  C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2.已知直線m、n和平面α、β滿足m⊥n,m⊥α,α⊥β,則 (   )
  A.n⊥β B.n∥β,或n⊂β
  C.n⊥α D.n∥α,或n⊂α
3..若平面α∥平面β,直線a∥平面α,點(diǎn)B∈β,則在平面β內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)的所有直線中 (  )
  A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線
  C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一與a平行的直線
4.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形,則原平面四邊形的面積等于(   )
  A.a2    B.2a2   C.a2    D.a2
5.如圖,若一個(gè)空間幾何體的三視圖中,正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形,其直角邊均為1,則該幾何體的體積為(  。

A. B. C. D.1
6.一個(gè)三棱錐,如果它的底面是直角三角形,那么它的三個(gè)側(cè)面 ( )
  A.必定都不是直角三角形 B.至多有一個(gè)直角三角形
   C.至多有兩個(gè)直角三角形 D.可能都是直角三角形
7.如右圖所示,正方體ABCD¬A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(   )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A¬BEF的體積為定值
D.△AEF的面積與△BEF的面積相等

8.已知矩形ABCD的面積為8,當(dāng)矩形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí),沿對(duì)角線AC把△ACD折起,則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于 (  )
   A.8π B.16π
   C.48π D.不確定的實(shí)數(shù)
9.已知A、B、C、D為同一球面上的四點(diǎn),且連接每點(diǎn)間的線段長(zhǎng)都等于2,則球心O到平面BCD的距離等于 ( )
  A. B. C. D.
10.三棱錐P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N 分別在BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,則下面四個(gè)圖象中大致描繪了三棱錐N-AMC的體積V與x變化關(guān)系(x∈(0,3))是 ( )
第Ⅱ卷
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
11.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為 。
12. 在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PM的最小值為 .
13.長(zhǎng)方體中,,則一只小蟲從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)的最短距離是 。
14.在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中,E為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界),若動(dòng)點(diǎn)P始終滿足PE⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為________.
15. 四面體ABCD中,有以下命題:
  ①若AC⊥BD,AB⊥CD,則AD⊥BC;
②若E、F、G分別是BC,AB,CD的中點(diǎn),則∠EFG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大。
③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心,則O在面ABD上的射影是△ABD的外心;
 、苋羲膫(gè)面是全等的三角形,則ABCD為正四面體.
  其中正確命題序號(hào)是 .
三、解答題:本大題共6個(gè)小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
16.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點(diǎn)D是AB的中

中點(diǎn)。
 。1)求證:BC1//平面CA1D;
 。2)求證:平面CA1D⊥平面AA1B1B。
   
17. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB//DC,ΔPAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4。
(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積。
18.在直三棱柱中,,,且異面直線與 所成的角等于,設(shè).
(Ⅰ)求的值;
 。á颍┣笃矫媾c平面所成的銳二面角的大小.
19.如圖所示,已知PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn),過(guò)A作AE⊥PC于
點(diǎn)E,AF⊥PB于點(diǎn)F,求證:
  (1)AE⊥平面PBC;
  (2)平面PAC⊥平面PBC;
  (3)PB⊥EF.
20.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在
平面垂直于底面ABCD.
  (1)求證:AD⊥PB.
  (2)若E為BC邊的中點(diǎn),能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面DEF⊥平面ABCD?并證明你的結(jié)論.

21.三棱錐P-ABC中,PC、AC、BC兩兩垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)。
(1)證明:平面GFE//平面PCB;
  (2)求二面角B-AP-C的正切值;
 。3)求直線PF與平面PAB所成角的正弦值。

  1~10 ADABA DDBBA
  11~15 6πa2 2 ①③
16.解答:(1)連接AC1交A1C于E,連接DE,∵AA1C1C為矩形,則E為AC1的中點(diǎn)。
   
   
   又CD平面CA1D,∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。
   又ΔPAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,∴PO=。
   
18.解:(1),
就是異面直線與所成的角,
即,……(2分)
連接,又,則
為等邊三角形,……………………………4分
由,,
;………5分
(2)取的中點(diǎn),連接,過(guò)作于,
連接,,平面
又,所以平面,即,
所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角。…………7分在中,,,,
,…………………………11分
因此平面與平面所成的銳二面角的大小為!12分
說(shuō)明:取的中點(diǎn),連接,…………同樣給分(也給12分)
19證明:(1)因?yàn)锳B是⊙O的直徑,
   所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.
   又因?yàn)镻A⊥⊙O所在平面,即PA⊥平面ABC.
   又BC⊂平面ABC,所以BC⊥PA.
   又因?yàn)锳C∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.
   因?yàn)锳E⊂平面PAC,所以BC⊥AE.
   又已知AE⊥PC,PC∩BC=C,
   所以AE⊥平面PBC.
   (2)因?yàn)锳E⊥平面PBC,且AE⊂平面PAC,
   所以平面PAC⊥平面PBC.
   (3)因?yàn)锳E⊥平面PBC,且PB⊂平面PBC,
   所以AE⊥PB.
   又AF⊥PB于點(diǎn)F,且AF∩AE=A,
   所以PB⊥平面AEF.
   又因?yàn)镋F⊂平面AEF,所以PB⊥EF.
   
   解析:(1)方法一,如圖,取AD中點(diǎn)G,連接PG,BG,BD.
   
   ∵△PAD為等邊三角形,∴PG⊥AD,
   又∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD.
   在△ABD中,∠A=60°,AD=AB,∴△ABD為等邊三角形,∴BG⊥AD,
   ∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
   方法二,如圖,取AD中點(diǎn)G
   ∵△PAD為正三角形,∴PG⊥AD
   又易知△ABD為正三角形
   ∴AD⊥BG.
   又BG,PG為平面PBG內(nèi)的兩條相交直線,
   ∴AD⊥平面PBG.
   ∴AD⊥PB.
   (2)連接CG與DE相交于H點(diǎn),
   在△PGC中作HF∥PG,交PC于F點(diǎn),
   ∴FH⊥平面ABCD,
   ∴平面DHF⊥平面ABCD,
   ∵H是CG的中點(diǎn),∴F是PC的中點(diǎn),
   ∴在PC上存在一點(diǎn)F,即為PC

的中點(diǎn),使得平面DEF⊥平面ABCD.
21.解答:(1)因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn),所以EF//BC,GF//CP。因?yàn)镋F,GF平面PCB,所以EF//平面PCB,GF//平面PCB。又EF∩GF=F,所以平面GFE//平面PCB。
   (2)過(guò)點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA,垂足為H,連接HB。因?yàn)锽C⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以HB⊥PA,所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依條件容易求出CH=,所以tan∠BHC=,所以二面角B-AP-C的正切值是。
  。3)如圖,設(shè)PB的中點(diǎn)為K,連接KC,AK,因?yàn)棣CB為等腰直角三角形,所以KC⊥PB;又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,所以AC⊥平面PCB,所以AK⊥PB,又因?yàn)锳K∩KC=K,所以PB⊥平面AKC;又PB平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC內(nèi),過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AK,垂足為M。因?yàn)槠矫鍭KC⊥平面PAB,所以FM⊥平面PAB,連接PM,則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角。容易求出PF=,F(xiàn)M=,所以sin∠MPF==.即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是


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