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高一數(shù)學(xué)學(xué)習：集合大小定義的基本要求十一

象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問題之一，價值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個條件，在3維流形上就只能有一種拓撲結(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓撲結(jié)構(gòu)?另外，證明兩個原來似乎沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個數(shù)學(xué)對象其實是同一種東西，對于其中一個數(shù)學(xué)對象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個上面;以往用來研究一種數(shù)學(xué)對象的方法，就可以被用來研究另一類數(shù)學(xué)對象。本文開頭說到英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，他證明的其實是更一般的“谷山-志村猜想”。這個猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。

最后舉個搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍貓的廣告，構(gòu)成畫面的元素不同，一個是機器人，一個是藍貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個不光彩的“同構(gòu)”例子吧。

“一個平面上的點應(yīng)該比一條直線上的點的個數(shù)多”這樣的直覺也可以用附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解釋合理性。當我們想像直線或平面上的點時，我們不但想像了那些點集，同時也在想像著這些點集構(gòu)成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點了，它們的排列非常有規(guī)律。換句話說，我們在點集上增加了決定直線和平面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果我們把直線和平面看作是實數(shù)域上的線性空間(關(guān)于線性空間的理論是線性代數(shù)，所有理科的學(xué)生會在大學(xué)一年級學(xué)習)，我們就遇見了一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：首先我們需要一個實數(shù)域，上面有一個域的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次我們在直線和平面的點集上定義了一個交換群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最后在實數(shù)域和交換群上定義了稱作“數(shù)乘”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個代數(shù)結(jié)構(gòu)同域和交換群上的各種運算都兼容，這樣我們最終得到了這個被稱為“實數(shù)域上的線性空間”的代數(shù)結(jié)構(gòu)。上面這一串話也許有點復(fù)雜，但是中心思想就是上面所說的結(jié)構(gòu)主義的思想：數(shù)學(xué)對象是由各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混雜在一起(當然要合理地混雜在一起，上面所說的“兼容”就是這個意思)而得到的。一旦我們這樣規(guī)定了線性空間的結(jié)構(gòu)，我們就可以定義線性空間的維數(shù)，這時我們可以說，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。

從上面兩個例子我們看到，當集合中的元素只是被看做一個沒有任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合中散亂的元素時，我們只能用一一對應(yīng)的方法來比較集合的大小;而當豐富多彩的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被加在集合上時，我們才有可能用更精細和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的)集合大小的方法。

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