馬鞍山二中屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,全卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合A{0，m2}，B={1，2}，則“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（　�。�　A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件2．已知點(diǎn)，則與同方向的單位向量是（ ）A． B． C． D． ．在圓上，則函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（ ）A． B． C． D． ．的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?）A． B． C． D． ．實(shí)數(shù)的值為（　�。�　 A．2B．5C．10D．20的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，則角的最小正值為（ ）A． B． C． D． ．設(shè)復(fù)數(shù)滿足復(fù)數(shù)?A． B. C． D.8．，，則與夾角的余弦值為（ ）A． B． C． D． ．和方程的根分別為和，函數(shù)，則（ ）A． B． C． D． 10．已知函數(shù)，若方程f（x）=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。〢．（?∞，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．（?∞，1）第Ⅱ卷11．已知f（x）=2x3+ax2+b?1是奇函數(shù)，則a?b=　�。�13．函數(shù)y＝tan的部分圖象如圖所示，則(O－)?＝14．設(shè)兩個(gè)向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α為實(shí)數(shù)．若a＝2b，則的取值范圍是___________．和向量,都有,則稱M為“點(diǎn)射域”.現(xiàn)有下列平面向量的集合:①；②；③；④；上述為“點(diǎn)射域”的集合的有 （寫(xiě)正確的標(biāo)號(hào)）三、解答題（本大題共6道小題，共75分，請(qǐng)將解題過(guò)程寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的位置，寫(xiě)錯(cuò)位置不得分）16．（本小題滿分12分）設(shè)命題； 命題 是方程的兩個(gè)實(shí)根 ，且不等式 ≥對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，若pq為真，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17．如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？．已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A (3,0)，B (0,3)，C (cosα，sinα)，α.(1)若＝，求角α的值；(2)若?＝－1，求的值．省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)＝＋2a＋，x[0,24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a ，若用每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M (a )．(1)令t＝，x[0,24]，求t的取值范圍．(2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？已知函數(shù)(a，b均為正常數(shù)). （1）求證：函數(shù)f(x)在(0，a+b]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)在處有極值，①對(duì)于一切，不等式恒成立，求b的取值范圍；②若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)(1) 當(dāng)時(shí), 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3) 在(Ⅰ)的條件下，設(shè),證明：.參考數(shù)據(jù)：.馬鞍山二中屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué)（理科）解答本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,全卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合A{0，m2}，B={1，2}，則“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（　�。�　A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件2．已知點(diǎn)，則與同方向的單位向量是（ ）A． B． C． D． ．在圓上，則函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（ ）A． B． C． D． ．的定義域?yàn)�，則的定義域?yàn)椋?）A． B． C． D． ．實(shí)數(shù)的值為（　　）　 A．2B．5C．10D．20的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，則角的最小正值為（ ）A． B． C． D． ．設(shè)復(fù)數(shù)滿足復(fù)數(shù)?A． B. C． D.8．，，則與夾角的余弦值為（ ）A． B． C． D． ．和方程的根分別為和，函數(shù)，則（ ）A． B． C． D． 10．已知函數(shù)，若方程f（x）=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�　A．（?∞，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．（?∞，1）解：函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選：D第Ⅱ卷11．已知f（x）=2x3+ax2+b?1是奇函數(shù)，則a?b=　?1　．解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，得b?1=0，解得b=1．∴f（x）=2x3+ax2．又∵f（?x）+f（x）=0，∴?2x3+ax2+2x3+ax2=0，化為ax2=0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)R都成立．∴a=0．∴a?b=?1．故答案為?1．解析：因?yàn)閍－2b與3a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ使得a－2b＝λ(3a＋kb)，整理得(3λ－1)a＋(kλ＋2)b＝0，又因?yàn)橄蛄縜、b不共線，所以，∴. 答案：－613．函數(shù)y＝tan的部分圖象如圖所示，則(O－)?＝解析：由題意知A(2,0)，B(3,1)，所以(－)?＝(1,1)?(3,1)＝4．設(shè)兩個(gè)向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α為實(shí)數(shù)．若a＝2b，則的取值范圍是_______________．解析：根據(jù)已知條件得2b＝(2m，m＋2sinα)，又a＝2b，所以λ＋2＝2m，λ2－cos2α＝m＋2sinα，于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即，解得－≤λ≤2，故＝＝2－[－6,1]．答案：[－6,1]和向量,都有,則稱M為“點(diǎn)射域”.現(xiàn)有下列平面向量的集合:①；②；③；④；上述為“點(diǎn)射域”的集合的有 ② （寫(xiě)正確的標(biāo)號(hào)）三、解答題（本大題共6道小題，共75分，請(qǐng)將解題過(guò)程寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的位置，寫(xiě)錯(cuò)位置不得分）16．（本小題滿分12分）設(shè)命題； 命題 是方程的兩個(gè)實(shí)根 ，且不等式 ≥對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，若pq為真，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：解：對(duì)命題又故 對(duì)命題對(duì)有 ∴若為真，則假真∴17．如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解：由題意知AB＝5(3＋)(海里)，DBA＝90°－60°＝30°，DAB＝90°－45°＝45°，ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在DAB中，由正弦定理得＝，DB＝＝＝＝＝10(海里)．又DBC＝DBA＋ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD?BC?cosDBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))．即該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).．已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A (3,0)，B (0,3)，C (cosα，sinα)，α.(1)若＝，求角α的值；(2)若?＝－1，求的值．解：(1)＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由＝，可得＝，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈，α＝.(2)由?＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，sinα＋cosα＝.又＝＝2sinαcosα.由式兩邊分別平方，得1＋2sinαcosα＝，2sinαcosα＝－.＝－.省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)＝＋2a＋，x[0,24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a ，若用每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M (a )．(1)令t＝，x[0,24]，求t的取值范圍．(2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？解(1)當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0；當(dāng)0＜x≤24時(shí)，x＋≥2(當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))， ∴t＝＝， 即t的取值范圍是 .(2)當(dāng)a 時(shí)，記g(t)＝t－a＋2a＋，則g(t)＝g(t)在[0，a]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且g(0)＝3a＋，g＝a＋，g(0)－g＝2.故M(a)＝＝當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí)，M(a)≤2.故當(dāng)0≤a≤時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)＜a≤時(shí)超標(biāo)．(a，b均為正常數(shù)). （1）求證：函數(shù)f(x)在(0，a+b]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)在處有極值，①對(duì)于一切，不等式恒成立，求b的取值范圍；②若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（1）證明：，所以，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（2）由已知得：所以a=2，所以f（x）=2sinx?x+b①不等式可化為：sinx?cosx?x＞?b記函數(shù)g（x）=sinx?cosx?x，在恒成立函數(shù)在上是增函數(shù)，最小值為g（0）=?1所以b＞1， 所以b的取值范圍是（1，+∞）②由得：，所以m＞0令f′（x）=2cosx?1＞0，可得∵函數(shù)f（x）在區(qū)間）上是單調(diào)增函數(shù)，∴∴6k≤m≤3k+1∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1∴k=0 ∴0＜m≤1(1) 當(dāng)時(shí), 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3) 在(Ⅰ)的條件下，設(shè),證明：.參考數(shù)據(jù)：.解.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，或。函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(Ⅱ) ，當(dāng)，單調(diào)增。當(dāng)，單調(diào)減. 單調(diào)增。當(dāng)，單調(diào)減， 安徽省馬鞍山二中屆高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)理
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