例1 設(shè)m是不能表示為三個互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，求m的值。
分析 我們不妨先求出三個互不相等的合數(shù)之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示為三個互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)。
解：由于4+6+8=18，故下面我們就來證明m的最大整數(shù)是17。
當(dāng)m>18時，若，則m>9
即任意大于18的整數(shù)均可以表示為三個互不相等的合數(shù)之和，故m=17
此題容易入手，逆向去考慮，采取極端性想法使問題得以解決。
例2 求滿足等式的正整數(shù)x、y。
分析 此問題容易想到因式分解，再加之問題里有數(shù)2003，因?yàn)?003是質(zhì)數(shù)，這也是一個信息。
解：觀察式子特點(diǎn)不難得出
故所求的正整數(shù)對（x,y）=（1，2003），（2003，1）
此問題考察的重點(diǎn)在于因式分解。
例3 如果對于不小于8的自然數(shù)n，當(dāng)3n+1是一個完全平方數(shù)時，n+1都能表示成k個完全平方數(shù)的和，那么k的最小值是________。
分析 我們采取分析法，因?yàn)槭且粋�完全平方數(shù)，所以設(shè)，再去推導(dǎo)n和a的關(guān)系，使問題不斷得到解決。
解：由已知是一個完全平方數(shù)，所以我們就設(shè)，顯然不是3的倍數(shù)，于是，從而
即，所以k的最小值是3
此是解決數(shù)論問題的一個常用的，也是基本的一個。
例4 設(shè)為完全平方數(shù)，且N不超過2392。求滿足上述條件的一切正整數(shù)對（x,y）共有________對。
分析此題與例3有相似之處，但是要難一些。首先用到了性質(zhì)8，然后再結(jié)合不等式解決此問題。
解：，且23為素?cái)?shù)，N為不超過2392的完全平方數(shù)
所以共有（1，19），（2，15），（3，11），（4，7），（5，3）以及（1，88），（2，84），…，（22，4）
故滿足條件的（x,y）共有5+22=27對
此問題用到了數(shù)論里常用的方法��不等式法。把一個整數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，就會求出上（下）界，從而限定出所求數(shù)的范圍，同時又是整數(shù)，故而使問題得以解決。
例5 已知方程的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。
分析 已知方程的根是整數(shù)，所以先把根求出來，所以根號下的數(shù)就應(yīng)該是完全平方數(shù)，故此問題得以解決。
解：由求根公式解得
因?yàn)榉匠痰母际钦麛?shù)
所以是完全平方數(shù)
設(shè)，則有
所以，分別解得整數(shù)n的值為10，0，－18，－8
此題的難點(diǎn)在于知道是完全平方數(shù)之后，如何分解它，實(shí)際上是在解一個不定方程問題。
例6設(shè)四位數(shù)是一個完全平方數(shù)，且，求這個四位數(shù)。
解：設(shè)
由于67是質(zhì)數(shù)，故與中至少有一個是67的倍數(shù)
此問題值得注意的是我們在設(shè)未知數(shù)的時候，采取整體代換，即把看成整體，從而使問題簡化。
例7 一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
分析 此類型問題在考試中出現(xiàn)多次，它的方法基本上是設(shè)出之后做差，然后運(yùn)用平方差公式分解，最后去解不定方程。
解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得
但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。
此問題是比較典型的，兩個式子三個未知數(shù)，感覺沒有辦法解決，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些問題中我們經(jīng)常把幾個式子做差或者做和，來發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。
在解決數(shù)學(xué)問題時，我們要以不變（知識）去應(yīng)萬變（問法），不斷去探索，有時候我們可以用特值去驗(yàn)證結(jié)論，這樣就會有一個大致的方向，再通過不斷的把問題轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學(xué)問題。
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