三角形

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 七年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第七章 三角形
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
三角形是幾何知識中的重要內(nèi)容,也是幾何學(xué)的基礎(chǔ).本章從三角形出發(fā),先學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的線段和角再到多邊形,其中包括三角形的內(nèi)角和、外角和及多邊形的內(nèi)角和等知識,最后到多邊形的實(shí)際應(yīng)用.
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
【本章重點(diǎn)】了解三角形的有關(guān)概念(內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線);會畫出任意三角形的角平分線、中線和高.
【本章難點(diǎn)】通過探索平面圖形的鑲嵌,知道任意一個三角形、四邊形或六邊形可以鑲嵌平面,并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計.
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
正確理解三角形的有關(guān)概念,掌握有關(guān)性質(zhì).在學(xué)習(xí)中,要注意觀察,搜集資料,多交流,注重新舊知識的聯(lián)系,學(xué)會將新知識轉(zhuǎn)化到已學(xué)的知識上去,再進(jìn)行歸納、整理、分析,要深刻理解并掌握歸納、類比的方法.學(xué)習(xí)中,還要多注意結(jié)合圖形,理解用多邊形鑲嵌圖案的道理,欣賞豐富多彩的圖案,體驗(yàn)數(shù)學(xué)美,提高審美情趣.

小結(jié)3 中考透視
本章知識在中考中所占比重較大,一方面以填空題、選擇題形式出現(xiàn),以考查對基本概念、基本定理的理解為主;另一方面以綜合題形式出現(xiàn),主要考查對知識的靈活運(yùn)用及綜合運(yùn)用的能力,利用本章知識解決實(shí)際問題的題目也越來越多地出現(xiàn)在中考試題中,還有平面圖形的鑲嵌內(nèi)容也是近年來的熱點(diǎn)考題,備受關(guān)注.由于鑲嵌問題具有較強(qiáng)的實(shí)用性,對知識的運(yùn)用要求靈活性較高,所以要得到這類問題的分?jǐn)?shù)也不是太容易的,分值占3~4分.

知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識性專題
專題1 三角形的三條重要線段
【專題解讀】三角形的中線、角平分線和高是三角形的三條重要線段,它們具有十分重要的性質(zhì),三角形的高構(gòu)造了垂直的條件,三角形的中線隱含線段相等,通過三角形的中線可以把三角形的面積分成相等的兩部分,三角形的角平分線提供了角相等的條件.掌握這些概念,對解與三角形有關(guān)的問題十分重要.
例1 如圖7-64所示,D為△ABC中AC邊上一點(diǎn),AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一點(diǎn),且△DEC的面積等于△ABC的面積的一半,求EB.
分析 已知△DEC的面積等于△ABC的面積的一半,在圖形中, △DEC與△ABC既不同底也不等高,因此需尋找橋梁△AEC來建立二者之間的關(guān)系,因?yàn)椤鰽EC既與△DEC等高也與△ABC等高.
解:作EF⊥AC于F,則 ,
作CG⊥AB于點(diǎn)G,則 ,
∴ ,即 .
又∵ ,∴ ,∴AE=3,
∴BE=AB-AE=1,即BE的長為1.
【解題策略】等高的兩個三角形的面積比等于底邊長的比,它是面積問題中常用的解題策略.
專題2 多邊形的內(nèi)角和及外角和
【專題解讀】用三角形的內(nèi)角和定理可以推出多邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理,在推導(dǎo)的過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,在解有關(guān)多邊形的問題時,如求多邊形的內(nèi)角、外角、邊數(shù)及對角線等問題,這兩個定理都很重要.
例2 已知一個多邊形的內(nèi)角和與某個外角的度數(shù)的總和為1350°,求這個多邊形的邊數(shù).
分析 應(yīng)充分利用多邊形每個外角在0°~180°間和等式的性質(zhì)巧解此題.
解:設(shè)這個多邊形的這個外角為x,它的邊數(shù)為n,
則(n-2)?180°+x=1350°, ∴(n-2) ?180°=8×180°-(90°+x),
由此可得90°+x是180°的倍數(shù). ∵0°<x<180°,
∴x=180°-90°=90°,
∴(n-2) ?180°=7×180°,
∴n=9.
【解題策略】靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理是解決此類問題的關(guān)鍵.
二、規(guī)律方法專題
專題3 用公式法解有關(guān)對角線的條數(shù)問題
【專題解讀】用n邊形的對角線有 條來解決相關(guān)問題.
例3 若一個多邊形有77條對角線,求它的內(nèi)角和.
分析 由 =77,求n.
解:設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,由題意,得 =77.
解得n=14,即這個多邊形是十四邊形,
十四邊形的內(nèi)角和為(14-2) ×180°=2160°,即內(nèi)角和為2160°.
【解題策略】根據(jù)對角線條數(shù)的公式 ,即已知邊數(shù)可求對角線的條數(shù),反之已知對角線的條數(shù),可求出邊數(shù).
三、思想方法專題
專題4 轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】轉(zhuǎn)化思想在本章中有很多的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在探索有關(guān)多邊形的問題時經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形的問題進(jìn)行解決.
例4 填表.
多邊形的邊數(shù)3456…n
內(nèi)角和
外角和
分析 先由三角形的內(nèi)角和為180°及外角和為360°逐一推廣,將4,5,…,n邊形分割成若干個三角形,易得答案.
解:填表如下.
多邊形的邊數(shù)3456…n
內(nèi)角和180°360°540°720°…(n-2) ?180°
外角和360°360°360°360°…360°
【解題策略】解決有關(guān)多邊形問題時,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.
2011中考真題精選
(2011陜西,12,3分)如圖,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E ,若 , 則 .

考點(diǎn):平行線的性質(zhì)。
分析:由AC∥BD,根據(jù)兩直線平行,同位角相等,即可求得∠B的度數(shù);由鄰補(bǔ)角的定義,求得∠BAC的度數(shù);又由AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E,即可求得∠BAE的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù).
解答:解:∵AC∥BD,
∴∠B=∠1=64°,
∴∠BAC=180°?∠1=180°?64°=116°,
∵AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E,
∴∠BAE= ∠BAC=58°,
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°.
故答案為:122°.
點(diǎn)評:此題考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,鄰補(bǔ)角的定義以及三角形外角的性質(zhì).題目難度不大,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P,若∠BPC=40°,則∠CAP= 50°.

考點(diǎn):角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).
分析:根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù),再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定,得出∠CAP=∠FAP,即可得出答案.
解答: 解:延長BA,做PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,
設(shè)∠PCD=x°,
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,
∴PF=PM,
∵∠BPC=40°,
∴∠ABP=∠PBC=(x-40)°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,
∴∠CAF=100°,
在Rt△PFA和Rt△PMA中,
PA=PA,PM=PF,
∴Rt△PFA≌Rt△PMA,
∴∠FAP=∠PAC=50°.
故答案為:50°.
點(diǎn)評:此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵.
(2011?貴港)在△ABC中,∠A=30°,∠B=55°,延長AC到D,則∠BCD= 85 度.
考點(diǎn):三角形的外角性質(zhì)。
分析:根據(jù)三角形外角的性質(zhì),即可推出∠BCD=∠A+∠B,即可推出結(jié)論.
解答:解:∵△ABC中,∠A=30°,∠B=55°,
∴∠BCD=∠A+∠B=85°.
故答案為85°.
點(diǎn)評:本題主要考查三角形外角的性質(zhì),關(guān)鍵在于推出∠BCD=∠A+∠B,認(rèn)真的計算.
(2011?西寧)如圖,將三角形的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上,∠1=30°,∠3=20°,則∠2= 50°。

考點(diǎn):平行線的性質(zhì);三角形的外角性質(zhì)。
專題:綜合題。
分析:先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得∠4的度數(shù),再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.
解答:解:由三角形的外角性質(zhì)可得∠4=∠1+∠3=50°,
∵∠2和∠4是兩平行線間的內(nèi)錯角,
∴∠2=∠4=50°.
故答案為:50°.

點(diǎn)評:本題綜合考查了三角形的外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì),得到∠4的度數(shù)是解題的關(guān)鍵
(2011湖州,12,4分)如圖:CD平分∠ACB,DE∥AC且∠1=30°,則∠2= 60 度.

考點(diǎn):平行線的性質(zhì);角平分線的定義.
專題:計算題.
分析:已知CD平分∠ACB,DE∥AC,可推出∠ACB=∠2,易求解.
解答:解:∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠1;∵DE∥AC,∴∠ACB=∠2;
又∵∠1=30°,∴∠2=60°.
點(diǎn)評:本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為兩直線平行,同位角相等;角平分線的定義.
(2011湖北隨州,8,3)如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P,若∠BPC=40°,則∠CAP= 50° .

考點(diǎn):角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì)。
分析:根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù),再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定,得出∠CAP=∠FAP,即可得出答案.
解答:解:延長BA,做PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,設(shè)∠PCD=x°,
∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,
∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,∴PF=PM,
∵∠BPC=40°,∴∠ABP=∠PBC=(x-40)°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,∴∠CAF=100°,
在Rt△PFA和Rt△PMA中,PA=PA,PM=PF,
∴Rt△PFA≌Rt△PMA,∴∠FAP=∠PAC=50°.
故答案為:50°.

點(diǎn)評:此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵
如圖,AD∥BC,∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P,作PE⊥AB于點(diǎn)E.若PE=2,則兩平行線AD與BC間的距離為 4.

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【專題】幾何計算題.
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2,PE=PN=2,即可得出答案.
【解答】 解:過點(diǎn)P作MN⊥AD,
∵AD∥BC,∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P,PE⊥AB于點(diǎn)E,
∴AP⊥BP,PN⊥BC,
∴PM=PE=2,,PE=PN=2,∴MN=2+2=4.故答案為:4.
【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.
(2011湖南長沙,13,3分)如圖,CD是△ABC的外角∠ACE的平分線,AB∥CD,∠ACE=100°,則∠A=____________.

考點(diǎn):角平分線 平行線
專題:相交線與平行線
分析:因?yàn)镃D是∠ACE的平分線,∠ACE=100°,所以∠ACD= ∠ACE=50°;因?yàn)锳B∥CD,所以∠A=∠ACD=50°.
解答:50°
點(diǎn)評:本題解法不唯一,如可以先由平角定義求得∠ACB的度數(shù),再由平角分線定義與平行線性質(zhì)求得∠B的度數(shù),最后由三角形的內(nèi)角和定理,求得∠A的度數(shù).
(2011?青海)認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段,完成所提出的問題.
探究1:如圖1,在△ABC中,O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn),通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+ ,理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線


又∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A

∴∠BOC=180°?(∠1+∠2)=180°?(90°? ∠A)
=
探究2:如圖2中,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn),試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?請說明理由.
探究3:如圖3中,O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn),則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(只寫結(jié)論,不需證明)
結(jié)論: ∠BOC=90°? ∠A .

考點(diǎn):三角形的外角性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理。
專題:常規(guī)題型。
分析:(1)根據(jù)提供的信息,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,用∠A與∠1表示出∠2,再利用∠O與∠1表示出∠2,然后整理即可得到∠BOC與∠O的關(guān)系;
(2)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.
解答:解:(1)探究2結(jié)論:∠BOC= ∠A,
理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線,
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACD,
又∵∠ACD是△ABC的一外角,
∴∠ACD=∠A+∠ABC,
∴∠2= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠1,
∵∠2是△BOC的一外角,
∴∠BOC=∠2?∠1= ∠A+∠1?∠1= ∠A;
(2)探究3:∠OBC= (∠A+∠ACB),∠OCB= (∠A+∠ABC),
∠BOC=180°?∠0BC?∠OCB,
=180°? (∠A+∠ACB)? (∠A+∠ABC),
=180°? ∠A? (∠A+∠ABC+∠ACB),
結(jié)論∠BOC=90°? ∠A.

點(diǎn)評:本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理,熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵,讀懂題目提供的信息,然后利用提供信息的思路也很重要.

綜合驗(yàn)收評估測試題
(時間:120分鐘 滿分:120分)
一、選擇題
1.若一個正多邊形的一個外角是40°,則這個正多邊形的邊數(shù)是 ( )
A.10 B.9 C.8 D.6
2.如圖7-65所示的是“北大西洋公約組織”標(biāo)志的主體部分(平面圖),它是由四個完全相同的四邊形OABC拼成的.測得AB=BC,OA=OC,OA⊥OC, ∠ABC=36°,則∠OAB的度數(shù)是 ( )
A.116° B.117° C.118° D.119°

3.如圖7-66所示,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,則∠A等于 ( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
4.一個等腰三角形(有兩條邊相等的三角形)的兩邊長分別為4.6和9.2,則此三角形的周長為 ( )
A.23 B.18.4 C.23或18.4 D.13.8
5.把14 cm長的細(xì)鐵絲截成三段,圍成不等邊三角形,并且使三邊長均為整數(shù),那么 ( )
A.只有一種截法 B.有兩種截法
C.有三種截法 D.有四種截不動
6.一個多邊形的每一個內(nèi)角都是120°,這個多邊形是 ( )
A.正四邊形 B.正五邊形 C.正六邊形 D.正七邊形
7.一個凸n邊形的n個內(nèi)角的和與某一外角的總和為1500°,則n的值為 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.一個多邊形木板截去一個三角形后(截線不經(jīng)過頂點(diǎn)),得到新多邊形的內(nèi)角和為2340°,則原多邊形的邊數(shù)為 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
9.若n邊形的內(nèi)角和是1260°,則邊數(shù)n為 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.若一個多邊形的每一個外角都等于72°,則這個多邊形是 ( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形
二、填空題
11.若一個三角形的三邊長都是整數(shù),周長為5,則最小邊為_______.
12.木工師傅做完門框后,為防止變形,通常在角上釘一斜條,根據(jù)是________.
13.小明繞著五邊形各邊走一圈,他共轉(zhuǎn)了_________度.
14.如果一個多邊形各邊相等,周長為70,且內(nèi)角和為1440°,那么它的邊長為________.
15.若多邊形的邊數(shù)由5條增加了n條,則內(nèi)角和增加了_________.
16.平面內(nèi),當(dāng)繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角恰好圍成一個_______時,就能拼成一個平面圖形.
17.如果只用圓、正五邊形、矩形中的一種圖形鑲嵌整個平面,那么這個圖形只能是________.
18.如圖7-67所示,有一底角為35°的等腰三角形紙片,現(xiàn)過底邊上一點(diǎn),沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_,分成三角形和四邊形兩部分,則四邊形中的最大角的度數(shù)是______.
三、解答題
19.如圖7-68所示,D是△ABC中BC邊上一點(diǎn).求證2AD<AB+BC+AC.
20.如圖7-69所示, ∠1+∠2+∠3+∠4為多少度?

21.如圖7-70所示,求 的度數(shù).
22.一個多邊形切去一個角后是十邊形,求原多邊形的內(nèi)角和.
23.一個凸多邊形,除了一個內(nèi)角外,其余各角的和為2750°,求這個多邊形的邊數(shù).

參考答案
1.B
2.B
3.D
4.A[提示:根據(jù)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊判斷,等腰三角形的腰長只能為9.2.]
5.D[提示:①3,5,6;②4,5,5;③2,6,6;④6,4,4.]
6.C[提示:根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得(n-2) ?180°=n?120°.]
7.D[提示:根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理及題意有(n-2) ?180°<1500°,n取最大值.]
8.B[提示:截線不經(jīng)過頂點(diǎn)時,原n邊形變?yōu)?n+1)邊形,則有(n+1-2)?180°=2340°,n=14.]
9.B[提示:根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得(n-2)?180°=1260°,n=9.]
10.C[提示:外角為72°,則內(nèi)角為108°.根據(jù)(n-2)?180°=108°?n,得n=5.]
11.1[提示:周長為5,三邊長分別為1,2,2.]
12.三角形具有穩(wěn)定性
13.540
14.7[提示:根據(jù)內(nèi)角和定理得(n-2)?180°=1440°,n=10,則邊長為7.]
15.180n°
16.周角[提示:根據(jù)平面鑲嵌的條件.]
17.矩形
18.125°
19.提示:根據(jù)三角形三邊長的關(guān)系進(jìn)行推理.在△ABD中,AD<AB+BD①.在△ADC中,AD<AC+DC②.①+②即可得到結(jié)論.
20.提示:該圖為四邊形,內(nèi)角和為360°.
21.解:原式=180°-∠1+180°-∠3+180°-∠5=540°-(∠1+∠3+∠5).又∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,且∠2+∠4+∠6=180°,∴原式=360°.
22.解:分三種情況:①切線不經(jīng)過頂點(diǎn),則原多邊形有9條邊,內(nèi)角和為(9-2)×180°=1260°;②切線經(jīng)過一個頂點(diǎn),則原多邊形有10條邊,內(nèi)角和為(10-2)×180°=1440°;③切線經(jīng)過兩個頂點(diǎn),則原多邊形有11條邊,內(nèi)角和為(11-2)×180°=1620°.
23.解:設(shè)邊數(shù)為n(n≥3,n為自然數(shù)),除去的內(nèi)角為x°(0<x<180),根據(jù)題意,得2750+x=(n-2)?180,所以x=(n-2)?180-2750,因?yàn)?<x<180,所以 <n< ,所以n=18.所以這個多邊形的邊數(shù)為18.

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