本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
本章主要從生活中的圖形入手，學(xué)習(xí)軸對(duì)稱及其基本性質(zhì)，欣賞、體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用．在此基礎(chǔ)上，利用軸對(duì)稱探索等腰三角形的性質(zhì)及其判定方法，進(jìn)一步學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)和判定．
軸對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的重要內(nèi)容．本章內(nèi)容是上一章內(nèi)容的繼續(xù)．又是后面學(xué)習(xí)四邊形、圓的基礎(chǔ)，所以學(xué)好本節(jié)知識(shí)至關(guān)重要．本節(jié)中涉及軸對(duì)稱、等腰三角形、等邊三角形、垂直平分線等重要概念，涉及等腰三角形“等邊對(duì)等角”、“三線合一”等重要性質(zhì)，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)特別注意．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
【本章重點(diǎn)】
1．軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)和判定．
2．等腰(或等邊)三角形的性質(zhì)和判定．
【本章難點(diǎn)】1．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．
2．書寫推理證明過程．
小結(jié)3 學(xué)法指導(dǎo)
1．注意聯(lián)系實(shí)際，通過觀察、動(dòng)手操作等直觀方式掌握軸對(duì)稱及等腰三角形的性質(zhì)和判定，利用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)解釋生活中的有關(guān)現(xiàn)象，設(shè)計(jì)圖案選擇最佳方案等，體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用，體現(xiàn)具體——抽象——具體的過程．
2．注意知識(shí)間的聯(lián)系．圖形的軸對(duì)稱變換、圖形與坐標(biāo)、圖形的證明在本章都有涉及，注意各部分知識(shí)之間的聯(lián)系，把所學(xué)知識(shí)納入已有的知識(shí)體系．
3．注意體會(huì)轉(zhuǎn)化思想、類比思想、分類討論思想在本章學(xué)習(xí)中的應(yīng)用．
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識(shí)性專題
專題1 軸對(duì)稱及軸對(duì)稱圖形
【專題解讀】 此部分內(nèi)容是近幾年中考中常見的題型，也是新題型之一，解題的依據(jù)主要是軸對(duì)稱及軸對(duì)稱的性質(zhì)．
例1 如圖12－112所示的是小方畫的正方形風(fēng)箏圖案，她以圖中的對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸，在對(duì)角線的下方畫一個(gè)三角形，使得新的風(fēng)箏圖案成為軸對(duì)稱圖形，若如圖12－113所示的圖形中有一圖形為此軸對(duì)稱圖形，則此圖為 ( )
分析 本題主要考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分，只有C為軸對(duì)稱圖形．故選C．
規(guī)律?方法 判斷某圖形是否為軸對(duì)稱圖形(或兩個(gè)圖形是否成軸對(duì)稱)，關(guān)鍵是能否找到一條直線可將這個(gè)圖形(或兩個(gè)圖形)沿著這條直線對(duì)折，使對(duì)折后的兩部分(或兩個(gè)圖形)重合．
專題2 利用軸對(duì)稱變換作軸對(duì)稱變換后的圖形及設(shè)計(jì)方案
【專題解讀】 利用軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)精美圖案，當(dāng)對(duì)稱軸改變方向時(shí)，原圖形的對(duì)稱圖形也改變方向，一個(gè)圖形經(jīng)過若干次軸對(duì)稱變換，再結(jié)合平移、旋轉(zhuǎn)等．就可以得到非常美麗的圖案．
例2 如圖12－114①所示，給出了一個(gè)圖案的一半，其中的虛線就是這個(gè)圖案的對(duì)稱軸，請(qǐng)畫出這個(gè)圖案的另一半．
解：如圖12－114②所示．
【解題策略】 先作出特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接即可．
專題3 等腰三角形的性質(zhì)和判定
【專題解讀】等腰三角形的性質(zhì)和判定可以用來證明角相等、線段相等以及線段垂直，這是幾何證明中最重要的知識(shí)之一，它經(jīng)常與其他幾何知識(shí)(如四邊形、圓等)綜合在一起考查．
例3 如圖12－115所示，AB＝AC，E，D分別在AB，AC上，BD和CE相交于點(diǎn)F，且∠ABD＝∠ACE．求證BF＝CF．
分析 本題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)和判定．由于AB＝AC，所以作輔助線BC，則可以構(gòu)造等腰三角形，從而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．
證明：連接BC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等邊對(duì)等角)．
又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
∴BF＝CF(等角對(duì)等邊)．
【解題策略】 本題解題時(shí)靈活運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)和判定，也可以連輔助線AF，來證明BF＝CF，用這個(gè)方法證明要用到三角形全等，比較麻煩．
專題4 等邊三角形的性質(zhì)和判定
【專題解讀】 等邊三角形是一個(gè)很特殊的三角形，它的三邊都相等，三個(gè)角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的幾何證明題中都會(huì)用到．
例4 如圖12－116所示，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，BC＝4，若將△ADC沿直線AD折疊，則C點(diǎn)落在點(diǎn)E的位置上，求BE的長(zhǎng)．
分析 本題綜合考查軸對(duì)稱和等邊三角形的判定和性質(zhì)．
解：由折疊得∠ADE＝∠ADC＝60°，CD＝DE．
又∵BD＝DC，∴DE＝BD．
∵∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴∠BDE＝180°－60°－60°＝60°．
∴△BDE為等邊三角形．
∴BE＝BD＝ BC＝2．
【解題策略】 本題運(yùn)用了“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這一判定方法．
專題5 含30°角的直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形的綜合應(yīng)用
【專題解讀】 直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這條性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角邊和斜邊的關(guān)系．
例5 如圖12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D．求證BE＝3AD．
分析 本題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)．
證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對(duì)等角)．
又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°．∴∠B＝∠BAD．
∴BD＝AD(等角對(duì)等邊)．
在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD．
∴BC＝BD＋CD＝AD＋2AD＝3AD．
二、規(guī)律方法專題
專題6 正確作輔助線解決問題
【專題解讀】 本章涉及等腰三角形的性質(zhì)、角平分線及線段的垂直平分線的性質(zhì)，做題時(shí)可通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線由全等等知識(shí)獲得結(jié)論．
例6 如圖12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求證BF＝DC．
證明：連接AE．
∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°．
又∵∠B＝90°．
∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE＝ED．
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C．
又∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°．
∴∠C＝45°．
∵∠EDC＝90°，∴∠C＝∠DEC＝45°．
∴DE＝DC，∴BE＝DC．
例7 如圖12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一點(diǎn)E，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使BE＝CF，EF交BC于G．求證EG＝FG．
證明：過E作EM∥AC，交BC于點(diǎn)M，
則∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM．
又∵BE＝CF，∴EM＝FC．
在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG(AAS)．
∴EG＝FG．
三、思想方法專題
專題7 分類討論思想
【專題解讀】 本章涉及等腰三角形的邊、角的計(jì)算，應(yīng)通過題意探討其可能存在的情況，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)一一討論不難獲得結(jié)論．
例8 已知等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為13 cm和15 cm兩部分，試求此等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．
分析 這是一類常見的等腰三角形分類討論的問題，解題時(shí)應(yīng)注意到分為13 cm和15 cm兩部分時(shí)的兩種可能情形，進(jìn)行分類討論即可．
解：如圖12－120所示，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，
所以AD＝CD，
由題意知 或
解得AB＝AC＝ ，BC＝ 或AB＝AC＝10，BC＝8．
即此等腰三角形的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)分別為 cm， cm或10 cm，8 cm．
規(guī)律?方法 本題的分類討論既可以說是來源于不同的圖形．也可以說是來源于題設(shè)中的“不明確”，解題過程應(yīng)從題設(shè)中挖掘出類似的信息，以使解答完整．
專題8 數(shù)形結(jié)合思想
【專題解讀】 數(shù)形結(jié)合思想是比較常用的數(shù)學(xué)思想，在解有關(guān)三角形的問題時(shí)顯得尤為重要．
例9 (開放題) 如圖12－121所示，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的條件是 ．
分析 從確定△ADE是等腰三角形著眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外還可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10 (探究題)如圖12－122所示，線段OP的一個(gè)端點(diǎn)O在直線a上，以O(shè)P為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線a上，這樣的等腰三角形能畫幾個(gè)?
分析 以O(shè)P為一邊畫等腰三角形，要考慮OP作腰和OP作底邊兩種情況．
解：(1)當(dāng)OP作等腰三角形的腰時(shí)，分O作頂點(diǎn)和P作頂點(diǎn)兩種情況．當(dāng)O作頂點(diǎn)，OP作腰時(shí)，則以O(shè)為圓心，OP為半徑畫弧，與直線a交于M1，M2兩點(diǎn)，則△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；當(dāng)P作頂點(diǎn)，PO作腰時(shí)，則以P為圓心，PO為半徑畫弧，交直線a于M3，則△POM3為等腰三角形． (2)當(dāng)OP作等腰三角形的底邊時(shí)，作OP的垂直平分線交直線a于M4，則△OPM4為等腰三角形．
所以這樣的等腰三角形能畫4個(gè)．如圖12－123所示．
例11 (動(dòng)手操作題)如圖12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照?qǐng)D①請(qǐng)你再用兩種不同的方法，將△ABC分割成3個(gè)三角形，使每個(gè)三角形都是等腰三角形(作圖工具不限，不寫作法和證明，但要標(biāo)出所分得的每個(gè)等腰三角形的內(nèi)角的度數(shù))．
分析 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或頂角為36°，72°，108°，18°，144°，以這些度數(shù)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)分割方案，便可得出符合條件的圖形．
解：如圖12－124②③④⑤所示均符合要求．
2011中考真題精選
1. （2011江蘇淮安，2，3分）下列交通標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形。
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，只要尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，既是軸對(duì)稱圖形．
解答：解：A、不是軸對(duì)稱圖形； B、不是軸對(duì)稱圖形； C、不是軸對(duì)稱圖形； D、是軸對(duì)稱圖形．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2. （2011?南通）下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ �。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形。
分析：結(jié)合軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行分析
解答：解：A項(xiàng)是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)為中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)為中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故本項(xiàng)正確，
D項(xiàng)為軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本項(xiàng)錯(cuò)誤故答案選擇C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察軸對(duì)稱圖象的定義和中心對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是找到圖形是否符合軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義
3. （2011江蘇無錫，6，3分）一名同學(xué)想用正方形和圓設(shè)計(jì)一個(gè)圖案，要求整個(gè)圖案關(guān)于正方形的某條對(duì)角線對(duì)稱，那么下列圖案中不符合要求的是（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形。
專題：數(shù)形結(jié)合。
分析：軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合．
解答：解：A、圖象關(guān)于對(duì)角線所在的直線對(duì)稱，兩條對(duì)角線都是其對(duì)稱軸；故不符合題意；
B、圖象關(guān)于對(duì)角線所在的直線對(duì)稱，兩條對(duì)角線都是其對(duì)稱軸；故不符合題意；
C、圖象關(guān)于對(duì)角線所在的直線對(duì)稱，有一條對(duì)稱軸；故不符合題意；
D、圖象關(guān)于對(duì)角線所在的直線不對(duì)稱；故符合題意；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．
4. （2011山西，6，2分）將一個(gè)矩形紙片依次按圖（1）、圖⑵的方式對(duì)折，然后沿圖（3）中的虛線裁剪，最后頭將圖（4）的紙?jiān)僬归_鋪平，所得到的圖案是（ ）
考點(diǎn)：軸對(duì)稱
專題：操作題 圖形變換
分析：由圖案的對(duì)稱性進(jìn)行想象，或動(dòng)手操作一下都可．
解答：A
點(diǎn)評(píng)：動(dòng)手折一折，動(dòng)腦想一想．不難得出答案．
5. （2011四川廣安，5，3分）下列幾何圖形：①角 ②平行四邊形 ③扇形 ④正方形，其中軸對(duì)稱圖形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形
專題：對(duì)稱
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念及所給出的圖形的特點(diǎn)可知①角，③扇形，④正方形是軸對(duì)稱圖形．而平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．
解答：C
點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)稱，如果圖形左右兩邊的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，解題時(shí)要注意記住初中階段學(xué)過的哪些基本圖形是軸對(duì)稱圖形．
6.（2011?臺(tái)灣4，4分）下列有一面國(guó)旗是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)選項(xiàng)中的圖形，判斷此國(guó)旗為何（ �。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形。
專題：常規(guī)題型。
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．這條直線叫做對(duì)稱軸．
解答：解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱圖形，注意掌握軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
7. （2011?臺(tái)灣26，4分）如圖1，將某四邊形紙片ABCD的AB向BC方向折過去（其中AB＜BC），使得A點(diǎn)落在BC上，展開后出現(xiàn)折線BD，如圖2．將B點(diǎn)折向D，使得B、D兩點(diǎn)重迭，如圖3，展開后出現(xiàn)折線CE，如圖4．根據(jù)圖4，判斷下列關(guān)系何者正確？（ ）
A、AD∥BCB、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC
考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）。
專題：操作型。
分析：由A點(diǎn)落在BC上，折線為BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ABD=∠CBD，又B點(diǎn)折向D，使得B、D兩點(diǎn)重迭，折線為CE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CD=CB，然后轉(zhuǎn)化為角相等，這樣就有∠ABD=∠CDB，根據(jù)平行線的判定定理即可得到B正確．
解答：解：∵A點(diǎn)落在BC上，折線為BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B點(diǎn)折向D，使得B、D兩點(diǎn)重迭，折線為CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即選項(xiàng)B正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊后重疊的兩部分圖形全等．也考查了動(dòng)手能力和空間想象能力．
8. （2011湖北荊州，2，3分）下列四個(gè)圖案中，軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（ �。�
A、1 B、2 C、3 D、4 考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形．
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義1得出，圖形沿一條直線對(duì)著，分成的兩部分完全重合及是軸對(duì)稱圖形，分別判斷得出即可．
解答：解：根據(jù)圖象，以及軸對(duì)稱圖形的定義可得，
第1，2，4個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，第3個(gè)是中心對(duì)稱圖形，
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)定義判斷出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．
9.（2011?柳州）在三角形、四邊形、五邊形、和正六邊形中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A、三角形B、四邊形
C、五邊形D、正六邊形
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形。
專題：幾何圖形問題。
分析：關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形叫軸對(duì)稱圖形．
解答：解：只有正六邊形沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，是軸對(duì)稱圖形．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的判斷方法：把某個(gè)圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個(gè)是軸對(duì)稱圖形．
10. （2011?郴州）觀察下列圖案，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ �。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形。
專題：幾何圖形問題。
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
解答：解：A、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意，故本選項(xiàng)正確；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱圖形及中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，要注意：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
11. （2011山東青島，4，3分）下列汽車標(biāo)志中既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形。
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
解答：解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；
B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；
C．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形；
D．是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題將汽車標(biāo)志與對(duì)稱相結(jié)合，掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
12. （2011泰安，19，3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC＝3，則折痕CE的長(zhǎng)為（ �。�
A． B． C． D．6
考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；勾股定理。
專題：探究型。
分析：先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分線，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3 ，
在Rt△AOE中，設(shè)OE＝x，則AE＝3 －x，
AE2＝AO2＋OE2，即（3 －x）2＝（3 ）2＋32，解得x＝ ，
∴AE＝EC＝3 － ＝2 ．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是翻折變換，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．
13. （2011山東省濰坊， 4，3分）如圖，陰影部分是由5個(gè)小正方形涂黑組成的一個(gè)直角圖形，再將方格內(nèi)空白的兩個(gè)小正方形涂黑．得到新的圖形(陰影部分)，其中不是軸對(duì)稱圖形的是( )
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【分析】本題需先根據(jù)軸對(duì)稱圖形的有關(guān)概念沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合對(duì)每一個(gè)圖形進(jìn)行分析即可得出正確答案．
【解答】解：A∵沿某直線折疊，分成的兩部分能互相重合
∴它是軸對(duì)稱圖形
B、∵沿某直線折疊，分成的兩部分能互相重合
∴它是軸對(duì)稱圖形
C、∵繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°以后，能夠與原圖形重合
∴它是軸對(duì)稱圖形
D、根據(jù)軸對(duì)稱定義
它不是軸對(duì)稱圖形
故選D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的有關(guān)概念，在解題時(shí)要注意軸對(duì)稱圖形的概念與實(shí)際相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．
2011四川達(dá)州，2，3分）圖中所示的幾個(gè)圖形是國(guó)際通用的交通標(biāo)志．其中不是軸對(duì)稱圖形的是（ �。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形。
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
解答：解：A、B、D都是軸對(duì)稱圖形，而C不是軸對(duì)稱圖形．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
14. （2011四川廣安，5，3分）下列幾何圖形：①角 ②平行四邊形 ③扇形 ④正方形，其中軸對(duì)稱圖形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形
專題：對(duì)稱
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念及所給出的圖形的特點(diǎn)可知①角，③扇形，④正方形是軸對(duì)稱圖形．而平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．
解答：C
點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)稱，如果圖形左右兩邊的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，解題時(shí)要注意記住初中階段學(xué)過的哪些基本圖形是軸對(duì)稱圖形．
15. 2011四川瀘州，11，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，將BC向BA方向翻折過去，使點(diǎn)C落在BA上的點(diǎn)C′，折痕為BE，則EC的長(zhǎng)度是（ �。�
A. B. －5 C.10－ D.5+
考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）．
分析：作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，設(shè)所求的EC為x，則CD=0.5x，BD=BE= x，根據(jù)BC=5列式求值即可．
解答：解：作ED⊥BC于D，設(shè)所求的EC為x，則CD= x，BD=BE= x，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，∴CE= －5，故選B．
點(diǎn)評(píng)：考查翻折變換問題；構(gòu)造出含30°及含45°的直角三角形是解決本題的突破點(diǎn)．
16. 在下列幾何圖形中，一定是軸對(duì)稱圖形的有（ �。�
A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)
【答案】C
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【專題】幾何圖形問題．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，分析各圖形的特征求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．這條直線叫做對(duì)稱軸．
【解答】解：扇形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
菱形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；直角三角形不一定是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意．
共3個(gè)軸對(duì)稱圖形．故選C．
【點(diǎn)評(píng)】考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
17. 12、如圖．在直角坐標(biāo)系中，矩形ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E．那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ �。�
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【專題】計(jì)算題；綜合題．
【分析】如圖，過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長(zhǎng)度，也就求出了D的坐標(biāo)．
【解答】解： 如圖，過D作DF⊥AF于F，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），∴AO=1，AB=3，
根據(jù)折疊可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
設(shè)OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x= ，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3- ，∴ ，即 ，
∴DF= ，AF= ，
∴OF= -1= ，
∴D的坐標(biāo)為（- ， ）．故選A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．
綜合驗(yàn)收評(píng)估測(cè)試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1．如圖12－125所示的四個(gè)中文藝術(shù)字中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
一 日 千 里
A B C D
圖12 - 125
2．如圖12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)E處．下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )
A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝CE D．AD＝EC
3．如圖12－127所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA＝5，則線段PB的長(zhǎng)度為 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．點(diǎn)P(3，－5)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( )
A．(－3，－5) B．(5，3) C．(－3，5) D．(3，5)
5．如圖12－128所示，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線，對(duì)稱，且∠A＝78°，∠C′＝48°，則∠B的度數(shù)為 ( )
A．48° B．54° C．74° D．78°
6．如圖12－129所示的是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在 ( )
A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC的三邊的中垂線的交點(diǎn)
C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)
7．如圖12－130所示的是把一張長(zhǎng)方形的紙沿長(zhǎng)邊中點(diǎn)的連線對(duì)折兩次后得到的圖形，再沿虛線裁剪，外面部分展開后的圖形是圖12－131中的( )
8．如圖12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分別是△ABC，△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有 ( )
A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
9．如圖12－133所示，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A(2，－1)，O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如圖12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于 ( )
A．90° B．75°
C．70° D．60°
二、填空題(每小題3分，共30分)
11．等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)為2和5．則第三邊長(zhǎng)為 ．
12．如圖12－135所示，鏡子中的號(hào)碼實(shí)際是 ．
13．如圖12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，則∠BCE＝ °．
14．從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于 ．
15．如圖12－137所示，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，折痕為EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度數(shù)為 度．
16．若等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為35°．則這個(gè)三角形的頂角為 ．
17．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸．
18．(1)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于130°，則其余兩個(gè)角分別為 �。�
(2)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于70°，則其余兩個(gè)角分別為 ．
19．如圖12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，CD＝3，則點(diǎn)D到AB的距離為 ．
20．如圖12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延長(zhǎng)BC到D，使CD＝CE，連接DE，若△ABC的周長(zhǎng)是24，BE＝a，則△BDE的周長(zhǎng)是 ．
三、解答題(每小題10分．共60分)
21．如圖12－140所示，有分別過A，B兩個(gè)加油站的公路l1，l2相交于點(diǎn)O，現(xiàn)準(zhǔn)備在∠AOB內(nèi)建一個(gè)油庫，要求油庫的位置點(diǎn)P滿足到A，B兩個(gè)加油站的距離相等，而且P到兩條公路l1，l2的距離也相等．請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出點(diǎn)P(不寫作法，保留作圖痕跡)．
22．如圖12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
(1)要使OC＝OD，可以添加的條件為 或 ；(寫出2個(gè)符合題意的條件即可)
(2)請(qǐng)選擇(1)中你所添加的一個(gè)條件．證明OC＝OD．
23．如圖12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長(zhǎng)線上，AE＝AF，AD是BC邊上的高，試判斷EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由．
24．如圖12－143所示，△ABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)N在BC上，在AB上找一點(diǎn)F，使△ENF的周長(zhǎng)最小，并說明理由．
25．如圖12－144所示，某船上午11時(shí)30分在A處觀測(cè)海島B在北偏東60°方向，該船以每小時(shí)10海里的速度向正東方向航行，航行到C處時(shí)，再觀測(cè)海島B在北偏東30°方向，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，再觀測(cè)海島B在北偏西30°方向，當(dāng)輪船到達(dá)C處時(shí)恰好與海島B相距20海里，請(qǐng)你確定輪船到達(dá)C處和D處的時(shí)間．
26．如圖12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD為BC邊上的高，延長(zhǎng)AB到E點(diǎn)，使BE＝BD，過點(diǎn)D，E引直線交AC于點(diǎn)F，則有AF＝FC．為什么?
參考答案
1．C
2．B[提示：由折疊知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分線，所以AD＝DE．]
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分線可知PB＝PA＝5．]
4．D[提示：兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′關(guān)于l對(duì)稱，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]
6．C[提示：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．]
7．D[提示：按要求動(dòng)手操作即可．]
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心，OA為半徑畫圓與x軸又交于一個(gè)與O不重合的一個(gè)點(diǎn)，作線段OA的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)，這四點(diǎn)都能使△POA為等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．]
11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底邊長(zhǎng)，5作腰長(zhǎng)．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分線，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因?yàn)椤螦CB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]
14．72°或
15．125[提示：由折疊可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠ABE＝20°，可得∠AEB＝70°，所以∠BEF＝∠DEF＝(180°－∠AEB)× ＝(180°－70°)× ＝55°．由BE∥C′F得∠FEB＋∠EFC′＝180°，所以∠EFC′＝180°－∠BEF＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴頂角為180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25° (2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°為頂角，底角為 ＝25°．(2)①若70°為頂角，則其余兩角為55°，55°；②若70°為底角，則其余兩角為40°，70°．]
19．3[提示：過D作DE⊥AB于E，∵AD為∠CAB的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3．]
20．12＋2a[提示：△BED為等腰三角形，BE＋ED＝2a，△ABC的邊長(zhǎng)為 ＝8，△ECD為等腰三角形，CD＝EC＝4．∴△BDE的周長(zhǎng)為4＋8＋2a＝12＋2a．]
21．解：點(diǎn)P是∠AOB的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)(如圖12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD都可以． (2)提示：答案不唯一，以AC＝BD為例．證明如下：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．又∵AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB，∴OC＝OD．
23．解：EF與BC的位置關(guān)系是：EF⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝ ∠BAC．又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AFE＝ ∠BAC．∴∠BAD＝∠AFE．∴EF∥AD．又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．
24．提示：圖略．欲使△ENF的周長(zhǎng)最小，即EN＋NF＋EF最小，而EN為定長(zhǎng)，則必有NF＋EF最小，又點(diǎn)F在AB上，且E，N在AB的同側(cè)．由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′N，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，此時(shí)，F(xiàn)E＋FN最小，即△EFN的周長(zhǎng)最小．
25．解：∵∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∠BCD＝∠BAC＋∠CBA，∴60°＝30°＋∠CBA，∴∠CBA＝30°．∴∠BAC＝∠CBA．∴CA＝CB．又∵∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等邊三角形．∴CD＝BC．∴AC＝CD＝BC．又∵BC＝20海里，∴AC＝CD＝20海里．∴20÷10＝2(時(shí))，40÷10＝4(時(shí))．∴輪船到達(dá)C處的時(shí)間是13：30，即下午1時(shí)30分．輪船到達(dá)D處的時(shí)間是15：30，即下午3時(shí)30分．
26．解：如圖12－147所示．∵BD＝BE，∴∠E＝∠1．又∵∠ABC＝∠E＋∠1＝2∠1，且∠ABC＝2∠C，∴2∠1＝2∠C，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2．∴FD＝FC．又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．
∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://simonabridal.com/chuyi/54798.html
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