2018-2019學年吉林省長春XX學校八年級(下)第一次月考數學試卷
一、選擇題(每題三分)
1.(3分)下列各式是分式的是( 。
A. B. C.x+1 D.
2.(3分)若分式 無意義,則x的取值是( 。
A.x=2或x=?2 B.x=2 C.x=?2 D.x=0
3.(3分)如果把 中的x、y都擴大5倍,那么分式的值( 。
A.擴大5倍 B.不變 C.縮小5倍 D.擴大4倍
4.(3分)把分式方程 ? =2化為整式方程正確的是( )
A.1?x?2=2 B.1?(x?2)=2(x?1) C.1+(x?2)=2(x?1) D.1+(x?2)=2
5.(3分)已知一次函數y=mx+|m+1|的圖象與y軸交于點(0,3),且y隨x的增大而增大,則m的值為( 。
A.2 B.?4 C.?2或?4 D.2或?4
6.(3分)已知一次函數y=kx+k,其在直角坐標系中的圖象大體是( 。
A. B. C. D.
7.(3分)如圖,矩形ABCD沿AE折疊,使D點落在BC邊上的F點處,如果∠BAF=60°,則∠AEF=( 。
A.60° B.70° C.75° D.80°
8.(3分)某工廠計劃每天生產x噸生產資料,采用新技術后每天多生產3噸,實際生產180噸與原計劃生產120噸的時間相等,那么適合x的方程是( )
A. B. C. D.
二、填空題(每題3分)
9.(3分)若分式 的值為0,則x= 。
10.(3分)在顯微鏡下一個球形細菌的直徑是0.0000053米,則用科學記數法可表示為 米.
11.(3分)若關于x的方程 有增根,則a= 。
12.(3分)平面直角坐標系中一點P(m?3,1?2m)在第三象限,則m的取值范圍是 。
13.(3分)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AB=5,BD=6,則菱形ABCD的面積是 .
14.(3分)已知一次函數y=2x+b的圖象與坐標軸圍成一個三角形,這個三角形的面積是4,則b的值是 。
三、解答題
15.(12分)計算:
(1)
(2)
(3)
(4) +
16.(8分)解下列方程:
(1) =
(2)
17.(6分)先化簡 ? ,且在?3,0,1,2中選擇一個數代入求值.
18.(6分)已知一次函數y=kx+b的圖象與y=3x的圖象平行,且經過點(?1,1),求這個一次函數的關系式,并求當x=5時,對應函數y的值.
19.(8分)某校舉行書法比賽,為獎勵優(yōu)勝學生,購買了一些鋼筆和毛筆,毛筆單價是鋼筆單價的1.5倍,購買鋼筆用了1500元,購買毛筆用了1800元,購買的鋼筆支數比毛筆多30支,鋼筆、毛筆的單價分別為多少元?
20.(8分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)如果AB=AC,試猜測四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.
21.(8分)已知方程x+ =2+ 的解是x1=2,x2=
方程x+ =3+ 的解是x1=3,x2=
方程x+ =4+ 的解是x1=4,x2= ……
觀察上述方程及方程的解,回答下列問題:
(1)關于x的方程x+ =a+ 的解是什么?并用方程解的概念驗證你的猜想是否正確;
(2)根據結論求出關于x的方程x+ =b+ 的解.
22.(10分)某化妝品公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案:
方案一:沒有底薪,只拿銷售提成;
方案二:底薪加銷售提成.;
設x(件)是銷售商品的數量,y(元)是銷售人員的月工資. 如右圖所示,y1為方案一的函數圖象,y2為方案二的函數圖象.從圖中信息解答如下問題):
(1)方案一每件商品提成是 元;
方案二每件商品提成是 元;
(2)求y1和y2的函數關系式;
(3)如果該公司銷售人員小麗這個月銷售了60件的商品,那么她采用哪種方案獲得的報酬會更多一些?
23.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,直線BE⊥x軸,交x軸與點D,點D坐標是(?4,0)直線y=? x?1與x軸和直線BE交于點C、E,點A在y軸上,且坐標為(0,m),且(m>0),連接AC,交直線BE于點B.
(1)當m=4時,求直線AC的函數表達式及C、B坐標;
(2)當m為何值時,△ACO≌△FCO,并說明理由;
(3)若S四邊形DEFO=S△CDB,則點A坐標是多少?
2018-2019學年吉林省長春外國語學校八年級(下)第一次月考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(每題三分)
1.(3分)下列各式是分式的是( )
A. B. C.x+1 D.
【考點】61:分式的定義.
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母,如果含有字母則是分式,如果不含有字母則不是分式.
【解答】解:A、 分母中不含有字母,因此它是整式,而不是分式.故本選項錯誤;
B、 的分母中含有字母,因此它是分式.故本選項正確;
C、x+1的分母中均不含有字母,因此它是整式,而不是分式.故本選項錯誤;
D、 的分母中均不含有字母,因此它是整式,而不是分式.故本選項錯誤;
故選:B.
【點評】本題主要考查分式的概念,分式與整式的區(qū)別主要在于:分母中是否含有未知數.
2.(3分)若分式 無意義,則x的取值是( 。
A.x=2或x=?2 B.x=2 C.x=?2 D.x=0
【考點】62:分式有意義的條件.
【分析】當分母為0時分式無意義,令x2?4=0即可求出x.
【解答】解:分式無意義,則可知x2?4=0,解得x=±2;
故選:A.
【點評】考查了分式有意義的條件.分式有意義的條件是分母不等于零;分式無意義的條件是分母等于零.
3.(3分)如果把 中的x、y都擴大5倍,那么分式的值( 。
A.擴大5倍 B.不變 C.縮小5倍 D.擴大4倍
【考點】65:分式的基本性質.
【分析】把x,y分別換為5x,5y,化簡后即可作出判斷.
【解答】解:根據題意得: = ,
則分式的值不變,
故選:B.
【點評】此題考查了分式的基本性質,熟練掌握分式的基本性質是解本題的關鍵.
4.(3分)把分式方程 ? =2化為整式方程正確的是( 。
A.1?x?2=2 B.1?(x?2)=2(x?1) C.1+(x?2)=2(x?1) D.1+(x?2)=2
【考點】B3:解分式方程.
【分析】方程兩邊都乘以x?1即可得.
【解答】解:方程兩邊都乘以x?1,得:1+(x?2)=2(x?1),
故選:C.
【點評】本題主要考查解分式方程,解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的基本步驟.
5.(3分)已知一次函數y=mx+|m+1|的圖象與y軸交于點(0,3),且y隨x的增大而增大,則m的值為( 。
A.2 B.?4 C.?2或?4 D.2或?4
【考點】F5:一次函數的性質;F8:一次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】根據一次函數的性質求解.
【解答】解:∵一次函數y=mx+|m+1|的圖象與y軸交于點(0,3),且y隨x的增大而增大,∴m>0,|m+1|>0,
把點(0,3)代入y=mx+|m+1|得:3=|m+1|=m+1,m=2.
故選:A.
【點評】一次函數y=kx+b的圖象有四種情況:
①當k>0,b>0,函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限,y的值隨x的值增大而增大;
②當k>0,b<0,函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限,y的值隨x的值增大而增大;
③當k<0,b>0時,函數y=kx+b的圖象經過第一、二、四象限,y的值隨x的值增大而減;
④當k<0,b<0時,函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限,y的值隨x的值增大而減。
6.(3分)已知一次函數y=kx+k,其在直角坐標系中的圖象大體是( 。
A. B. C. D.
【考點】F3:一次函數的圖象.
【分析】函數的解析式可化為y=K(x+1),易得其圖象與x軸的交點為(?1,0),分析選項可得答案.
【解答】解:函數的解析式可化為y=K(x+1),
即函數圖象與x軸的交點為(?1,0),
分析可得,A符合,
故選:A.
【點評】本題考查一次函數的圖象,要求學生掌握通過解析判斷其圖象與坐標軸的交點位置、坐標.
7.(3分)如圖,矩形ABCD沿AE折疊,使D點落在BC邊上的F點處,如果∠BAF=60°,則∠AEF=( )
A.60° B.70° C.75° D.80°
【考點】LB:矩形的性質.
【分析】根據矩形的性質,求出∠EAF=15°,從而得出∠AEF的度數即可.
【解答】解:∵∠EAF是∠DAE折疊而成,
∴∠EAF=∠DAE,∠ADC=∠AFE=90°,∠EAF= = =15°,
在△AEF中∠AFE=90°,∠EAF=15°,
∠AEF=180°?∠AFE?∠EAF=180°?90°?15°=75°.
故選:C.
【點評】本題考查了矩形的性質,圖形的折疊實際上相當于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對稱,所以折疊前后的兩個圖形是全等三角形,復合的部分就是對應量.
8.(3分)某工廠計劃每天生產x噸生產資料,采用新技術后每天多生產3噸,實際生產180噸與原計劃生產120噸的時間相等,那么適合x的方程是( )
A. B. C. D.
【考點】B6:由實際問題抽象出分式方程.
【分析】根據實際生產180噸與原計劃生產120噸的時間相等,可以建立方程,從而可以得到哪個選項是正確的.
【解答】解:由題意可得,
= ,
故選:C.
【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程,解題的關鍵是明確題意,找出題目中的等量關系,列出方程.
二、填空題(每題3分)
9.(3分)若分式 的值為0,則x= 2。
【考點】63:分式的值為零的條件.
【分析】分式值為零的條件:分子等于零且分母不等于零,所以 ,據此求出x的值是多少即可.
【解答】解:∵分式 的值為0,
∴
解得x=2.
故答案為:2.
【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.
10.(3分)在顯微鏡下一個球形細菌的直徑是0.0000053米,則用科學記數法可表示為 5.3×10?6 米.
【考點】1J:科學記數法—表示較小的數.
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示,一般形式為a×10?n,與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪,指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
【解答】解:0.0000053米,則用科學記數法可表示為5.3×10?6米.
故答案為:5.3×10?6.
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數,一般形式為a×10?n,其中1≤|a|<10,n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
11.(3分)若關于x的方程 有增根,則a= 1。
【考點】B5:分式方程的增根.
【分析】增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根.所以應先確定增根的可能值,讓最簡公分母x?2=0,得到x=2,然后代入整式方程算出未知字母的值.
【解答】解;方程兩邊都乘(x?2),得
a=x?1?3(x?2),
∵原方程有增根,
∴最簡公分母x?2=0,即x=2,
把x=2代入整式方程,得a=1.
故答案為1.
【點評】本題考查了分式方程的增根問題,對于此問題可按如下步驟進行:
①讓最簡公分母為0,確定增根;
②化分式方程為整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.
12.(3分)平面直角坐標系中一點P(m?3,1?2m)在第三象限,則m的取值范圍是 0.5<m<3。
【考點】CB:解一元一次不等式組;D1:點的坐標.
【分析】根據第三象限內點的橫坐標與縱坐標都是負數列式不等式組,然后求解即可.
【解答】解:∵點P(m?3,1?2m)在第三象限,
∴ ,
解得:0.5<m<3,
故答案為:0.5<m<3
【點評】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式,記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵,四個象限的符號特點分別是:第一象限(+,+);第二象限(?,+);第三象限(?,?);第四象限(+,?).
13.(3分)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AB=5,BD=6,則菱形ABCD的面積是 24。
【考點】L8:菱形的性質.
【分析】根據菱形的對角線互相垂直,利用勾股定理列式求出OA,再根據菱形的對角線互相平分求出AC、BD,然后利用菱形的面積等于對角線乘積的一半列式進行計算即可得解.
【解答】解:∵四邊形ABCD是菱形,
∴OB=OD=3,OA=OC,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
根據勾股定理,得:OA= ,
∴AC=2OA=8,
∴S菱形ABCD= ×AC×BD= ×6×8=24.
故答案為:24
【點評】本題考查了菱形的周長公式,菱形的對角線互相垂直平分線的性質,勾股定理的應用,比較簡單,熟記性質是解題的關鍵.
14.(3分)已知一次函數y=2x+b的圖象與坐標軸圍成一個三角形,這個三角形的面積是4,則b的值是 ±4。
【考點】F8:一次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】利用一次函數y=2x+b的圖象與x軸交點和與y軸交點的特點求出坐標,以及圖象與坐標軸所圍成的三角形是直角三角形求解.
【解答】解:當y=0時,0=2x+b,
∴x=? ;
當x=0時,y=b,
∴一次函數y=2x+b的圖象與坐標軸所圍成的三角形面積: ×|? |×|b|=4,
解得b=±4,
故答案為:±4
【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征,本題利用了直線與x軸的交點的縱坐標為0,直線與y軸的交點的橫坐標為0求解.
三、解答題
15.(12分)計算:
(1)
(2)
(3)
(4) +
【考點】6C:分式的混合運算.
【分析】(1)根據分式的除法可以解答本題;
(2)根據冪的乘方和分式乘法可以解答本題;
(3)根據分式的除法可以解答本題;
(4)根據分式的加法可以解答本題.
【解答】解:(1)
=
= ;
(2)
=
= ;
(3)
=
= ;
(4) +
=
=
=
=
= .
【點評】本題考查分式的混合運算,解答本題的關鍵是明確分式的混合運算的計算方法.
16.(8分)解下列方程:
(1) =
(2)
【考點】B3:解分式方程.
【分析】(1)先把分式方程轉化成整式方程,求出方程的解,再進行檢驗即可;
(2)先把分式方程轉化成整式方程,求出方程的解,再進行檢驗即可.
【解答】解:(1)方程兩邊乘以(x+1)(2x?1)得:2(2x?1)=5(x+1),
解得:x=?7,
檢驗:當x=?7時,(x+1)(2x?1)≠0,
即x=?7是原方程的解,
所以原方程的解為x=?7;
(2)方程兩邊乘以x?2得:1?x=?1?2(x?2),
解得:x=2,
檢驗:當x=2時,x?2=0,
即x=2不是原方程的解,
所以原方程無解.
【點評】本題考查了解分式方程,能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵.
17.(6分)先化簡 ? ,且在?3,0,1,2中選擇一個數代入求值.
【考點】6D:分式的化簡求值.
【分析】將分子、分母因式分解后約分,再通分、計算分式的減法,繼而約分即可化簡原式,最后選取使分式有意義的x的值代入計算可得.
【解答】解:原式= • ?
= ?
=
=? ,
當x=1時,原式=?1.
【點評】本題主要考查分式的化簡求值,解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則.
18.(6分)已知一次函數y=kx+b的圖象與y=3x的圖象平行,且經過點(?1,1),求這個一次函數的關系式,并求當x=5時,對應函數y的值.
【考點】FF:兩條直線相交或平行問題.
【分析】根據兩平行直線的解析式的k值相等求出k,然后把經過的點的坐標代入解析式計算求出b值,即可得解.
【解答】解:∵一次函數y=kx+b的圖象平行于直線y=3x,
∴k=3,
∴y=3x+b
把點(?1,1)代入得,3=?1×3+b,
解得b=6,
所以,一次函數的解析式為,y=3x+6,
當x=5時,y=3×5+6=21.
【點評】本題考查了兩直線平行的問題,根據平行直線解析式的k值相等求出k值是解題的關鍵,也是本題的突破口.
19.(8分)某校舉行書法比賽,為獎勵優(yōu)勝學生,購買了一些鋼筆和毛筆,毛筆單價是鋼筆單價的1.5倍,購買鋼筆用了1500元,購買毛筆用了1800元,購買的鋼筆支數比毛筆多30支,鋼筆、毛筆的單價分別為多少元?
【考點】B7:分式方程的應用.
【分析】首先設鋼筆單價x元/支,則毛筆單價1.5x元/支,根據題意可得:1500元購買的鋼筆數量?1800元購買的毛筆數量=30支,根據等量關系列出方程,再解即可.
【解答】解:設鋼筆單價x元/支,由題意得:
? =30,
解得:x=10,
經檢驗:x=10是原分式方程的解,
1.5x=1.5×10=15.
答:鋼筆、毛筆的單價分別為10元,15元.
【點評】此題主要考查了分式方程的應用,關鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關系,列出方程.
20.(8分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)如果AB=AC,試猜測四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.
【考點】L7:平行四邊形的判定與性質;KD:全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)利用△AEF≌△DEB得到AF=DB,所以AF=DC,根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形;
(2)利用等腰三角形的性質以及矩形的判定得出即可;
【解答】(1)證明:∵AF∥BC,
∴∠FAE=∠EDB,∠AFE=∠EBD.
在△AEF和△DEB中,
,
∴△AEF≌△DEB(AAS),
∴AF=DB,
又∵BD=DC,
∴AF=DC,
∴四邊形ADCF為平行四邊形;
(2)四邊形ADCF為矩形;
理由:連接AB,
∵AB=AC,D為BC的中點,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°
∴平行四邊形AFCD為矩形
【點評】此題主要考查了矩形的判定和全等三角形的判定等知識,利用了全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定,矩形的判定是解題關鍵.
21.(8分)已知方程x+ =2+ 的解是x1=2,x2=
方程x+ =3+ 的解是x1=3,x2=
方程x+ =4+ 的解是x1=4,x2= ……
觀察上述方程及方程的解,回答下列問題:
(1)關于x的方程x+ =a+ 的解是什么?并用方程解的概念驗證你的猜想是否正確;
(2)根據結論求出關于x的方程x+ =b+ 的解.
【考點】B3:解分式方程.
【分析】(1)本題可根據給出的方程的解的概念,來求出所求的方程的解.
(2)本題要求的方程和題目給出的例子中的方程形式不一致,可先將所求的方程進行變形.變成式子中的形式后再根據給出的規(guī)律進行求解.
【解答】解:(1)根據題意知x=a或x= ,
當x=a時,左邊=a+ =右邊,
所以x=a是分式方程的解;
當x= 時,左邊= + = +a=右邊,
所以x= 是分式方程的解;
綜上,x=a或x= 是分式方程的解;
(2)∵x+ =b+ ,
∴x?3+ =b?3+ ,
則x?3=b?3或x?3= ,
解得:x=b或x= .
【點評】本題考查了分式方程的解,要注意給出的例子中的方程與解的規(guī)律,還要注意套用列子中的規(guī)律時,要保證所求方程與例子中的方程的形式一致.
22.(10分)某化妝品公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案:
方案一:沒有底薪,只拿銷售提成;
方案二:底薪加銷售提成.;
設x(件)是銷售商品的數量,y(元)是銷售人員的月工資. 如右圖所示,y1為方案一的函數圖象,y2為方案二的函數圖象.從圖中信息解答如下問題):
(1)方案一每件商品提成是 14 元;
方案二每件商品提成是 7 元;
(2)求y1和y2的函數關系式;
(3)如果該公司銷售人員小麗這個月銷售了60件的商品,那么她采用哪種方案獲得的報酬會更多一些?
【考點】FH:一次函數的應用.
【分析】(1)根據題意和函數圖象可以求得方案一和方案二的每件商品提成;
(2)根據函數圖象中的數據可以求得y1和y2的函數關系式;
(3)根據(2)中的函數解析式可以分別求得兩種方案的報酬,然后比較大小即可解答本題.
【解答】解:(1)由圖象可得,
方案一每件商品提成是:420÷30=14(元),
方案二每件商品提成是:(560?350)÷30=7(元),
故答案為:14,7;
(2)設y1與x的函數關系式是y1=kx,
30k=420,得k=14,
即y1與x的函數關系式是y1=14x,
設y2與x的函數關系式是y2=ax+b,
,得 ,
即y2與x的函數關系式是y2=7x+350;
(3)當x=60時,
y1=14×60=840,
y2=7×60+350=770,
∵840>770,
∴她采用方案一獲得的報酬會更多一些.
【點評】本題考查一次函數的應用,解答本題的關鍵是明確題意,求出相應的函數解析式,利用函數的性質解答.
23.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,直線BE⊥x軸,交x軸與點D,點D坐標是(?4,0)直線y=? x?1與x軸和直線BE交于點C、E,點A在y軸上,且坐標為(0,m),且(m>0),連接AC,交直線BE于點B.
(1)當m=4時,求直線AC的函數表達式及C、B坐標;
(2)當m為何值時,△ACO≌△FCO,并說明理由;
(3)若S四邊形DEFO=S△CDB,則點A坐標是多少?
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】(1)利用待定系數法求出直線AC的解析式,根據坐標軸上點的坐標特征求出C、B坐標;
(2)根據一次函數解析式求出點F的坐標,得到OF的長,根據全等三角形的性質解答;
(3)根據相似三角形的性質求出DE,根據梯形面積公式求出S四邊形DEFO,根據題意列出算式,計算即可.
【解答】解:(1)對于直線y=? x?1,
當y=0時,0=? x?1,
解得,x=?8,
則點C的坐標為(?8,0),
當m=4時,點A坐標為(0,4),
設直線AC的解析式為:y=kx+b,
則 ,
解得,k= ,b=4,
則直線AC的解析式為:y= x+4,
直線AC交直線BE于點B,點D坐標是(?4,0),直線BE⊥x軸,
當x=?4時,y=2,
∴點B的坐標為(?4,2);
(2)當x=0時,y=? x?1=?1,
∴點F的坐標為(0,?1),即OF=1,
當△ACO≌△FCO時,OA=OF=1,
∴m=1;
(3)∵DE∥OF,CD=DO,
∴DE= OF= ,
∴S四邊形DEFO= ×( +1)×4=3,
由題意得, ×BD×4=3,
解得,BD= ,
∵BD∥OA,CD=DO,
∴AO=2BD=3,
∴m=3,即點A坐標是(0,3).
【點評】本題考查的是一次函數的知識、相似三角形的判定和性質,掌握待定系數法求一次函數解析式的一般步驟是解題的關鍵.
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